Resolver para $\sin^2(x) = 3\cos^2(x)$

Question

Estoy intentando resolver la siguiente ecuación para x. La respuesta del libro de texto y mi respuesta difieren y sigo obteniendo la misma respuesta. ¿Podría alguien decirme qué estoy haciendo mal? Fíjate que esto es "sen al cuadrado de x" y 3 * "cos al cuadrado de x"

$\sin^2x = 3\cos^2x$ //Sólo hay que reescribir la ecuación de nuevo

$1-\cos^2x = 3\cos^2x$ //Utilizando las identidades pitagóricas para sustituir $\sin^2x$

A continuación, añado $\cos^2x$ a ambas partes cediendo: $$1 = 4\cos^2x$$

A continuación, divido por $4$ cediendo: $$\frac 1 4 = \cos^2x$$

A continuación, saco la raíz cuadrada de ambos lados dando como resultado: $$\frac 1 2 = \cos x$$

A continuación, determino que los lugares donde la $\cos x$ es positivo $(1/2)$ es $\pi/3$ y $5\pi/3$

La respuesta del libro de texto es $\pi/3$ y $2\pi/3$ . Sin embargo, el $\cos(2\pi/3)$ es $-(1/2)$ lo que significa que debo haber resuelto la ecuación incorrectamente. ¿Alguien ve mi error?

Gracias.

Answer 1

sabemos que $\sin^2x=3\cos^2x$ así que $$1-\cos^2x=3\cos^2x \Rightarrow 4\cos^2x=1 \Rightarrow \cos^2x=\frac{1}{4} \Rightarrow \cos x=\pm \frac{1}{2}$$ y ahora calculamos los valores de $x$ $$\mbox{if} \qquad \cos x=\frac{1}{2},\mbox{ then}\qquad x=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$$ $$\mbox{if} \qquad \cos x=-\frac{1}{2},\mbox{ then}\qquad x=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$$

Answer 2

He aquí un enfoque alternativo sugerido en los comentarios por @BennettGardiner. Si simplemente divides ambos lados por $\cos^2x$ entonces el problema será realmente fácil de resolver para usted.

\begin {align} & \sin ^2(x) = 3 \cos ^2 (x) \\ & \frac { \sin ^2(x)}{ \cos ^2 (x)} = 3 \\ & \tan ^2{x} = 3 \\ & \tan {x} = \pm \sqrt {3} \end {align}

A partir del último paso, puedes simplemente $\arctan$ ambos lados dos veces, una con $\sqrt{3}$ y otro con $-\sqrt{3}$ y tendrás las dos respuestas.