Secuencia creciente de divisores de un trinomio cuadrático

Question

Esta pregunta es de un concurso ruso, el 2011 Tuymaada Olimpiada. Es la cuarta pregunta en día dos de los problemas a nivel de grado 2.

Deje $P(n)$ ser un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número de $P(n)$ tiene una adecuada divisor $d_{n}$, es decir, $1 < d_{n} < P(n)$, de tal manera que la secuencia de $d_{1},d_{2},d_{3},\ldots$ es cada vez mayor. Demostrar que

1. $P(n)$ es el producto de dos lineal de polinomios con coeficientes enteros, o
2. todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por un mismo número entero $m > 1$.

La parte (2) de la última frase dice que si $P(n)=an^2+bn+c$ donde $a,b,c$ son enteros tales que $b^2-4ac$ no es un cuadrado perfecto, entonces la secuencia de $d_{1},d_{2}, \ldots$ es el aumento sólo si existe un entero positivo $m>1$ que divide a todos los $P(n)$.

Traté de analizar dos casos diferentes: uno al $b^2-4ac$ es negativa y uno al $b^2-4ac$ es positivo y no un cuadrado perfecto, pero yo no podía ir a ninguna parte.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Esta es una sugerencia, pero realmente largo para un comentario que yo quería. Condiciones {(i) o (ii)} se niegue por {(i) y no (ii)} es decir, $p(n)=an^2+bn+c$ es irreductible, y para todo m > 1 $n_m$ tales que p($n_m$) y m son coprimes.

NOTA.- Cuando p es irreducible cuadrática (o de un mayor grado) y no es constantemente múltiplo de un número (como $x^2$ + x + 2, que es siempre igual) fue conjeturado por Bouniakowsky que p(n) es infinitamente muchas veces un prime (esto es, hasta el momento no se ha probado y los avances parciales han sido realizadas por Sierpinski, Guarnición, Forman y probablemente de otras personas). El hecho aquí es que "no (me)" por sí mismo (sin el "no (ii)"), en general, producir algunos de los mejores con los que la condición 1 < $d_n$ de < p(n) sería negar. La irreductible binomio $x^{12}$ +488669 es un ejemplo conocido, el cual está compuesto por 0 < x < 616980 dar una primera prime en x = 616980 pero para cuadrático irreducible a menudo no es difícil producir un primo.

Parece plausible tratar de encontrar una respuesta sin la NOTA, pero siempre negando la condición (i) y (ii) para obtener una prueba por Reductio Ad Absurdum.