Cómo resolver $\ln x^n=0$ ?

Question

Considere la ecuación $\ln x^n=0$ , donde $n$ es cualquier número entero positivo.

Utilizo dos métodos para resolverlo, pero da una respuesta diferente.

Método 1:

$$\ln x^n=0$$

$$x^n=1$$

Por el Teorema de De Moivre, obtenemos

$$x=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}$$

donde $ k= 0, 1 ,2 ,3 ,... , n-1$

Así que hay un total de $n$ raíces en esta ecuación.

Método 2:

Utilizando $ \ln a^b = b \ln a$ ,

$$\ln x^n=0$$

$$n\ln x=0$$

$$\ln x=0$$

$$x=1$$

Que es sólo una raíz.

¿Qué método es el correcto y qué es lo que falla?

Answer 1

Esto se debe a que no está especificando donde quieres resolver tu ecuación.

Desde $\ln$ suele definirse en $\mathbb {R}_+^*$ No puede aceptar soluciones fuera de ese conjunto, en su caso: $\mathbb C$ .

Pero si se da una definición del logaritmo en $\mathbb C$ También puede encontrar sus soluciones complejas.

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Para responder a un comentario:

Si tomas esto como una definición para un logaritmo complejo:

$$\log(z)=\ln(z)+i\arg(z),$$

entonces se obtiene

$$\begin{align*} \log(z^n)=0&\iff \ln\vert z^n\vert+i\arg(z^n)=0 \\ &\iff n\ln\vert z\vert+ni\arg(z)=0\\ &\iff \begin{cases} \vert z\vert =1 \\ n\arg(z)=0 \pmod {2\pi} \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} \vert z\vert =1 \\ \arg(z)=0 \pmod {\frac{2\pi}n}, \end{cases}\end{align*}$$

que le da la solución que desea.

Answer 2

Uno debe estar seguro de lo que definición que se utiliza para el símbolo " $\ln$ ".

• En el análisis real, el valor único logaritmo real $\ln(x)$ es sólo definido para $x>0$ ;
• En el análisis complejo, $\ln(x)$ suele reservarse para positivo número real $x$ mientras que los multivalores logaritmo complejo se denota como $\log(z)$ para un número complejo distinto de cero $z$ . La relación entre " $\ln$ " y " $\log$ "viene dada por la definición $$ \log(z)=\ln(|z|)+i\arg (z),\quad z\in{\bf C}\backslash\{0\}\tag{*} $$ donde $ \mathrm{arg}(z) := \{ \theta \in {\bf R}: \cos \theta + i \sin \theta = \frac{z}{|z|} \} $ denota todos los posibles argumentos de ${z}$ en forma polar.
• Por supuesto, se puede ver que algunas personas insisten en usar $\ln(z)$ para el número complejo $z$ también, lo que causaría una confusión innecesaria respecto a cuál es el valor de $\ln(z)$ debe ser cuando $z$ es un número real positivo.

Ahora, ciñámonos a la definición y también a los símbolos de (*), y veamos cuál debería ser la solución de $\log (z^n)=0$ .

Por definición, $$\ln(|z^n|)+i\arg(z^n)=0$$ lo que implica que $|z^n|=1$ y $\arg(z^n)=0$ . Esto significa que $z^n=1$ y ahora puedes usar la fórmula de De Moivre. Esto es esencialmente lo que hiciste en el método 1.

El problema del método 2 es que la identidad $\ln a^b=b\ln a$ $(a,b>0)$ sólo es cierto para el logaritmo real, lo que sería una suposición falsa si se encuentra en el mundo complejo. Por ejemplo, es un ejercicio instructivo comprobar por definición del logaritmo complejo que $$ \log (-1)^2\neq 2\log(-1). $$