Sugerencia.
Primero probar que si $K$ es cualquier componente de $(\mathbb{R}^n-S)$, $S\cup K$ está conectado.
Algunos detalles:
Es fácil ver que $K$ es cerrado. Tampoco puede ser abierto, ya que esto le partición $\mathbb{R}^n$. Si $p$ es cualquier límite de punto de $K$$p\in\overline{S}$, de lo contrario, podríamos añadir una pequeña bola de $p$ y obtener una estrictamente mayor que $K$ conectado conjunto de desaparecidos $S$, una contradicción. De ello se desprende que $S\cup\{p\}$ $K$ son dos conjuntos no vacíos de la intersección, por lo que su unión está conectado.
El próximo representar a $(\mathbb{R}^n-T)$ como la unión de una familia de conjuntos conectados que tienen un no-vacío intersección:
De hecho, $(\mathbb{R}^n-T)=\bigcup\{S\cup K: K$ es un componente de $(\mathbb{R}^n-S)$$K\not=T \}$ .
Edit.
No necesitamos suponer que $S$ está abierto.
Si $S$ no necesita ser abierta, $K$ (en la notación introducida por encima) no necesita ser cerrado en $\mathbb{R}^n$. Pero, al igual que antes, $K$ no puede ser abiertas y cerradas, por lo que tiene un no-vacío límite de $\mathrm{Bd\,}K$. Pick $p\in\mathrm{Bd\,}K$. Si $p\in S$ $S$ $K\cup\{p\}$ son dos conjuntos no vacíos de la intersección, por lo que su unión $S\cup K$ está conectado. Si $p\not\in S$, $p\in K$ (desde $K\cup\{p\}$ está conectado y $K$ es un componente de $(\mathbb{R}^n-S)$, es decir, un máximo conectado subconjunto). Como antes debemos tener ese $p\in\overline S$, $S\cup\{p\}$ $K$ son dos conjuntos no vacíos de la intersección, por lo que su unión $S\cup K$ está conectado.
Lo anterior puede ser generalizado como sigue.
Supongamos que $X$ está conectado a un espacio topológico y $S$ está conectado a un subconjunto. Supongamos también que $\overline S\cap \overline K\not=\emptyset$ para cada componente de $K$$X-S$. Entonces, si $T$ es cualquier componente de $X-S$, tenemos que
$X-T$ está conectado.
La condición por encima de ese $\overline S\cap \overline K\not=\emptyset$ sin duda vale si $X$ está conectado localmente. De hecho, si $\overline S\cap \overline K=\emptyset$ $\overline K$ es un conjunto conectado falta $S$, por lo tanto $K=\overline K$, es decir, $K$ es cerrado. Pero $K$ también está abierto, como un componente) en $X-\overline S$ desde $X-\overline S$ está conectado localmente (se abrirá en el conectado localmente $X$). A continuación, $K$ es tanto lo abierto y lo cerrado en $X$, una contradicción.
No sé si la condición que $X$ está conectado localmente es necesario. Quizás $\overline S\cap \overline K\not=\emptyset$ sostiene siempre, independientemente de si $X$ está conectado localmente o no? He publicado esto como una cuestión separada .
Edit. Mi pregunta aparte, se respondió (con un enlace a la respuesta de otra pregunta mayores). De hecho, hay un espacio de $X$ (que no es localmente conectado a sólo dos puntos), conectado a un subconjunto $S$ (que en este ejemplo es un singleton $\{(0,1)\}$, pero pueden ser abiertos mediante la adopción de un barrio pequeño), y un componente $K$ $X\setminus S$ (es decir, $K=\{(0,0)\}$ nuevo un singleton) tales que
$\overline S\cap \overline K=\emptyset$.
Pregunta (que no voy a publicar por ahora ya es demasiado tarde, por favor siéntase libre de publicar por separado si así lo desea). Suponga que $X$ está conectado a un espacio topológico, $S$ está conectado a un subconjunto, y $T$ es un componente de $X\setminus S$. Es $X\setminus T$ conectado? A mi en particular la prueba de que aquí no trabajo en general, pero tal vez la respuesta es no obstante sí, con otra prueba?
