Probar que no hay números enteros positivos$n>1$ y$k>1$ tales que$n!=k^k$.

Question

Probar que no hay % enteros positivos $n>1$y $k>1$ tal que $n!=k^k$.

¿Alguien me puede ayudar?

Si $n=k$ y $n!\neq k^k$,

Si $n<k$, entonces el $n!\neq k^k$,

Si $n\geqslant2k$, entonces el $n!\neq k^k$,

Si $k<n<2k$ no sé qué hacer. Tal vez es mal camino.

Answer 1

Asumir $n!=k^k$ $n>1$. Que $p$ sea un % primer $\le n$. Entonces implica la $p\mid n!$ $p\mid k^k$, por lo tanto, $p\mid k$. Así que deje que $p_1=2,p_2=3,\ldots, p_r$ todos los primos $\le n$. Luego de lo anterior, tenemos $p_1p_2\cdots p_r\mid k$ y en particular $k\ge p_1p_2\cdots p_r$. De prueba de Euklid de la infinitud de números primos, recordamos que existe un alto $q\le p_1p_2\cdots p_r+1$ que difiere de todos los $p_i$. Así concluimos nuestra situación $n<q$ y en particular $n\le p_1p_2\cdots p_r\le k$. Pero entonces el $k^k\ge n^n>n!$, contradicción.