Probar que no hay % enteros positivos n>1y k>1 tal que n!=kk.
¿Alguien me puede ayudar?
Si n=k y n!≠kk,
Si n<k, entonces el n!≠kk,
Si n⩾, entonces el n!\neq k^k,
Si k<n<2k no sé qué hacer. Tal vez es mal camino.
Probar que no hay % enteros positivos n>1y k>1 tal que n!=kk.
¿Alguien me puede ayudar?
Si n=k y n!≠kk,
Si n<k, entonces el n!≠kk,
Si n⩾, entonces el n!\neq k^k,
Si k<n<2k no sé qué hacer. Tal vez es mal camino.
Asumir n!=k^k n>1. Que p sea un % primer \le n. Entonces implica la p\mid n! p\mid k^k, por lo tanto, p\mid k. Así que deje que p_1=2,p_2=3,\ldots, p_r todos los primos \le n. Luego de lo anterior, tenemos p_1p_2\cdots p_r\mid k y en particular k\ge p_1p_2\cdots p_r. De prueba de Euklid de la infinitud de números primos, recordamos que existe un alto q\le p_1p_2\cdots p_r+1 que difiere de todos los p_i. Así concluimos nuestra situación n<q y en particular n\le p_1p_2\cdots p_r\le k. Pero entonces el k^k\ge n^n>n!, contradicción.
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