Encontrar la derivada n-ésima de funciones, en particular y=tan(x)

Question

Para $y=\cos2x$

Desde $\frac{d y}{d x} = -2 \sin2x$, e $\frac{d^2 y}{d x^2} = -4 \cos2x$, luego

$\frac{d^2 y}{d x^2} = -4y$, por lo que

$\frac{d^3 y}{d x^3} = -4\frac{d y}{d x}$, $\frac{d^4 y}{d x^4} = -4\frac{d^2 y}{d x^2}$, etc.

Por lo tanto, la enésima diferencial de $y=\cos2x$ $\frac{d^n y}{d x^n} = -4 \frac{d^{n-2} y}{d x^{n-2}}, n\geq 2$

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Para $y=\ln(x)$

Igual que el anterior, pero esta vez las diferencias se expresan en términos de $x$, no el uno al otro.

$y=\ln(x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x^{-1} \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2} = -x^{-2}$, etc.

Así, por $y=\ln(x)$,

$\frac{d^n y}{d x^n} = (n-1)!(-1)^{n-1}x^{-n}, n\geq 2$

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Para $y=\tan(x)$

Así que la pregunta es, ¿una ecuación como la que existe para $y=\tan(x)$?

He probado con dos enfoques:

Los diferenciales de $\tan(x)$ en términos de$y$$\frac{dy}{dx}$:

$$\begin{array}{c} \frac{d y}{d x} & = & 1+y^2 \\ \frac{d^2 y}{d x^2} & = & 2y\frac{d y}{d x} \\ \frac{d^3 y}{d x^3} & = & 4(\frac{d y}{d x})^2 & - & 2\frac{d y}{d x} \\ \frac{d^4 y}{d x^4} & = & 20y(\frac{d y}{d x})^2 & - & 4y\frac{d y}{d x} \\ \frac{d^5 y}{d x^5} & = & 20(\frac{d y}{d x})^3 & + & 68(\frac{d y}{d x})^2 & - & 72 \frac{d y}{d x} \\ \end{array}$$

Hay algunas pautas que usted puede detectar, pero no parece muy prometedor de lo que pasó.

Los diferenciales de $\tan(x)$, en términos de otros diferenciales:

$$\begin{array}{c} \frac{d y}{d x} & = & 1+y^2\\ \frac{d^2 y}{d x^2}& = & 2y\frac{d y}{d x}\\ \frac{d^3 y}{d x^3}& = & 2y\frac{d^2 y}{d x^2} & + & 2(\frac{d y}{d x})^2\\ \frac{d^4 y}{d x^4}& = & 2y\frac{d^3 y}{d x^3} & + & 6\frac{d^2 y}{d x^2}\frac{d^2 y}{d x^2}\\ \frac{d^5 y}{d x^5}& = & 2y\frac{d^4 y}{d x^4} & + & 8\frac{d^3 y}{d x^3}\frac{d y}{d x} & + & 6(\frac{d^2 y}{d x^2})^2\\ \frac{d^6 y}{d x^6}& = & 2y\frac{d^5 y}{d x^5} & + & 10\frac{d^4 y}{d x^4}\frac{d y}{d x} & + & 20\frac{d^3 y}{d x^3}\frac{d^2 y}{d x^2}\\ \frac{d^7 y}{d x^7}& = & 2y\frac{d^6 y}{d x^6} & + & 12\frac{d^5 y}{d x^5}\frac{d y}{d x} & + & 30\frac{d^4 y}{d x^4}\frac{d^2 y}{d x^2} & + & 20(\frac{d^3 y}{d x^3})^2\\ \frac{d^8 y}{d x^8}& = & 2y\frac{d^7 y}{d x^7} & + & 14\frac{d^6 y}{d x^6}\frac{d y}{d x} & + & 42\frac{d^5 y}{d x^5}\frac{d^2 y}{d x^2} & + & 70\frac{d^4 y}{d x^4}\frac{d^3 y}{d x^3}\\ \frac{d^9 y}{d x^9}& = & 2y\frac{d^8 y}{d x^8} & + & 16\frac{d^7 y}{d x^7}\frac{d^1 y}{d x^1} & + & 56\frac{d^6 y}{d x^6}\frac{d^2 y}{d x^2} & + & 112\frac{d^5 y}{d x^5}\frac{d^3 y}{d x^3} & + & 70(\frac{d^4 y}{d x^4})^2\\ \end{array}$$

Tabla de coeficientes expresados en términos de factores primos:

$$\begin{array}{c|c c c c c } &1&2&3&4&5\\\hline 2&2\\ 3&2&(2)\\ 4&2&2\times3\\ 5&2&2\times2\times2&(2\times3)\\ 6&2&2\times5&2\times2\times5\\ 7&2&2\times2\times3&2\times3\times5&(2\times2\times5)\\ 8&2&2\times7&2\times3\times7&2\times5\times7\\ 9&2&2\times2\times2\times2&2\times2\times2\times7&2\times2\times2\times2\times7&(2\times5\times7)\\ \end{array}$$

Esto es mucho más emocionante. He trabajado fórmulas hasta el tercer término:

$$\begin{array}{ c c|c c c} &term& 1 & 2 & 3 & m & last\\ && 2y\frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} & 2(n-1)\frac{d^{n-2} y}{d x^{n-2}}\frac{d y}{d x} & (n-1)(n-2)\frac{d^{n-3} y}{d x^{n-3}}\frac{d^2 y}{d x^2} & (?)\frac{d^{n-m} y}{d x^{n-m}}\frac{d^{m-1} y}{d x^{m-1}}*^1 & 2(?)\frac{d^{\frac{n-1}{2}} y}{d x^{\frac{n-1}{2}}}*^2\\ \end{array}$$

$*^1$Nota: $(n-m)$ $(m-1)$ agregar a a $n-1$, es decir, uno menos que el diferencial que se calcula.

$*^2$ Sólo aparece cuando se $\frac{n-1}{2}$ es un número entero, es decir, para $n$ impar.

El problema que me estoy encontrando es que no parece ser una expresión que funciona para todos los términos de cada diferencial. A continuación, de nuevo sólo he calculado hasta el 3er trimestre. Alguna idea?

(Yo también estaría muy interesado si usted encuentra cualquier otro enésima diferenciales de este tipo.)

Answer 1

Es una buena oportunidad para usar el Arbos la fórmula, generalmente conocido como Faá di Bruno de la fórmula. Para empezar, vamos a escribir $\tan x$ $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\mathrm i\frac{\mathrm e^{\mathrm i2x}-1}{\mathrm e^{\mathrm i2x}+1}=-\mathrm i+\frac{2\mathrm i}{\mathrm e^{\mathrm i2x}+1}.$$ Vamos entonces a definir $g(x)=\mathrm e^{\mathrm i2x}$$f(x)=\frac{2\mathrm i}{x+1}-\mathrm i$. Tenemos $\tan x=f(g(x))$ e,$k\geq1$, $$f^{(k)}(x)=(-1)^kk!\frac{2\mathrm i}{(x+1)^{n+1}} \qquad\text{y}\qquad g^{(k)}(x)=(2\mathrm i)^kg(x).$$ Arbos - Faá di Bruno fórmula se obtiene el $n^{\text{th}}$ derivado (es una generalización de la regla de la cadena para mayor deriative órdenes). La fórmula general escribe $$\bronceado^{(n)}x=\sum_{\substack{m_1,\,\dots,\,m_n\\m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n}} \frac{n!}{m_1!\puntos m_n!}f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\frac{g'(x)^{m_1}}{1!^{m_1}}\cdots\frac{g^{(n)}(x)^{m_n}}{n!^{m_n}}$$ y el uso de la forma explícita de $f^{(k)}$ $g^{(k)}$ hemos $$\bronceado^{(n)}x=\sum_{\substack{m_1,\,\dots,\,m_n\\m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n}} \frac{n!(m_1+\cdots+m_n)!}{m_1!\puntos m_n!} \frac{(-1)^{m_1+\cdots+m_n}2\mathrm i}{(g(x)+1)^{m_1+\cdots+m_n+1}} \frac{(2\mathrm i)^{m_1}g(x)^{m_1}}{1!^{m_1}}\cdots\frac{(2\mathrm i)^{n\cdot m_n}g(x)^{m_n}}{n!^{m_n}}$$ algunas simplificaciones rendimiento ( $g(x)/(g(x)+1)=(\mathrm i-\tan x)/2\mathrm i$ $1/(g(x)+1)=(1-\mathrm i\tan x)/2)$) $$\bronceado^{(n)}x=n!2^n\mathrm i^{n+1}(1-\mathrm i\tan x)\times\sum_{\substack{m_1,\,\dots,\,m_n\\m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n}} \frac{(m_1+\cdots+m_n)!}{m_1!\puntos m_n!\,1!^{m_1}\dots n!^{m_n}}\left(\frac{\tan x-\mathrm i}{2\mathrm i}\right)^{m_1+\cdots+m_n}.$$