Demostrar que $n=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto

Question

Demostrar que $n=\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto

Mi intento ,

Dejemos que $x=5^{25}$ para que $5^{125}-1=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$=(x^4+9x^2+1+6x^3+6x+2x^2-5x^3-10x^2-5x)(x-1)$

$=((x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2)(x-1)$

Estoy atascado en este punto y ya no sé cómo continuar. Espero que alguien pueda dar una solución detallada. Muchas gracias.

Answer 1

El polinomio $\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ cumple con una interesante identidad.
Tenemos que $4\cdot \Phi_5(x)$ está bastante cerca del cuadrado de $2x^2+x+2$ Y de hecho..:

$$ 4 \Phi_5(x) = (2x^2+x+2)^2 - 5x^2 \tag{1}$$ así como: $$ \Phi_5(x) = (x^2+3x+1)^2 - 5x(x+1)^2 \tag{2} $$ por lo que si $x=5^{2k+1}$ , $\Phi_5(x)$ es la diferencia de dos grandes cuadrados: $$\begin{eqnarray*} \Phi_5(5^{2k+1}) &=& \left(5^{4k+2}+3\cdot 5^{2k+1}+1\right)^2 - \left(5^{3k+2}+5^{k+1}\right)^2\\&=&\left(5^{4k+2}+5^{3k+2}+3\cdot 5^{2k+1}+5^{k+1}+1\right)\cdot\left(5^{4k+2}-5^{3k+2}+3\cdot 5^{2k+1}-5^{k+1}+1\right) \end{eqnarray*}$$ y $\Phi_5(5^{2k+1})$ no puede ser un número primo. Véase Factorización aurifeuilleana .