En la regularidad de la suma de alterning de números primos

Question

Vamos a definir $(p_n)_{n\in \mathbb N}$ la lista ordenada de números primos ($p_0=2$, $p_1=3$, $p_2=5$...).

Estoy interesado en la siguiente suma:

$$S_n:=\sum_{k=1}^n (-1)^kp_k$$

Desde la secuencia de $(S_n)$ está relacionado con los espacios entre los números primos, yo esperaría a ser bastante irregular.

Pero si dibujamos $(S_n)_{1\leqslant n\leqslant N}$$N\in \{50,10^3,10^5,10^6,10^7\}$, obtenemos lo siguiente:

Se puede observar una gran regularidad.

Así que mis preguntas son:

• ¿Por qué hay tanta regularidad?

• Podemos encontrar las ecuaciones de las dos líneas que forman $(S_n)$?

• Hay una prueba de que continuará siendo que el forever?

Cualquier contribución, incluso parcial, será muy apreciada.

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Actualizaciones.

Gracias a mixedmath y Daniel Fischer, aquí es más curvas:

• en azul, tendrás $S_n$;

• en rojo, ha $\displaystyle 2^{1/6}\displaystyle \sum (-1)^k k\log k$;

• en verde, usted tiene $\displaystyle \sum (-1)^k k\log k$;

• en púrpura, usted tiene $\displaystyle \sum (-1)^k k(\log k+\log\log k)$;

• en amarillo, ha $\displaystyle \sum (-1)^k k(\log k+\log\log k-1)$.

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Mi pregunta parece bastante relacionado con este.

Answer 1

Esta es una gran pregunta. Por desgracia, esta es una respuesta incompleta. Pero pensé acerca de esto un poco y me di cuenta de algo interesante, pero que no sé cómo explicar.

Con $$ S_n = \sum_{k \leq n} (-1)^k p_k,$$ donde $p_n$ $n$th prime, algunos modelos son inmediatamente evidentes. Es obvio que la secuencia de $S_n$ suplentes en el signo, por ejemplo. Pero algunos de los patrones no es obvio o evidente.

Por el teorema de los números primos, esperamos que $p_n \approx n \log n$. Si dibujamos $\sum_{k \leq n} (-1)^k k \log k$ contra $S_n$ para todos los números primos hasta un millón, obtenemos

Al parecer, esto es un poco demasiado pequeño, lo que parece. Esto tiene algo de sentido, ya que las desviaciones de la aproximación $p_n \approx n \log n$ compuesto de aquí.

Sin embargo, me di cuenta de que $$ 1.12 \sum_{k \leq n} (-1)^k k \log k $$ es realmente una muy buena (experimental) estimación de lo que está pasando, como puede verse en el siguiente gráfico.

Quizás $1.12$ es una opción incorrecta --- que acaba de pasar a ser un muy cercanos razonable aparente número, y parece reflejar lo que está pasando. No sé por qué, a pesar de que.

Si se conjetura por un momento que $1.12 \sum (-1)^k k \log k$ es un buen estimador, entonces podemos escribir un buen asintótica para esta serie el uso parcial de la suma. Es decir,

$$ \begin{align} \sum_{k \leq n} (-1)^k k \log k &= \left( \sum_{k \leq n} (-1)^k k \right) \log n - \int_1^n \left( \sum_{k \leq t} (-1)^k k \right) \frac{1}{t} dt \\ &= (-1)^n \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor \log n - \int_1^n (-1)^{\lfloor t \rfloor} \left \lfloor \frac{\lfloor t \rfloor+1}{2} \right \rfloor \frac{1}{t} dt \\ &= (-1)^n \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor \log n + O \left( \int_1^n \left( \frac{t+1}{2t} + \frac{2}{t} \right) dt\right) \\ &= (-1)^n \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor \log n + O(n). \end{align}$$

Así que suponemos que $$S_n \approx 1.12 (-1)^n \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor \log n + O(n).$$ Para la comparación, el tamaño de la alternancia suma de los primeros 1001 de los números primos es $3806$, donde esta estimación da acerca de $3876.6$. Para $10001$, el valor real es de $52726$, en comparación con el estimado de $51588.7$. Ambos están cerca, aunque al parecer no es muy precisa.

Es posible describir el comportamiento real de $S_n$ un poco más por el uso secundario de los términos en el primer número de teorema, pero yo no estaba acertado en mi espalda-de-la-envoltura cálculos. Ni sé cómo explicar la $1.12$ que aparece en esta respuesta (o de cómo determinar si es $1.12$ frente a, digamos, $1.15$). Tal vez alguien va a ver cómo rellenar esos huecos.

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(Editado después de que Daniel Fischer comentario)

Aquí están las imágenes actualizadas, incluyendo parcelas de $\sum (-1)^n n (\log n + \log \log n)$.

Como podemos ver, $\sum (-1)^n n (\log n + \log \log n)$ crece en magnitud sólo un poco más rápidamente. Centrándonos un poco en la mitad superior, obtenemos