Triples pitagóricos : Es todo número entero positivo $\gt$ $2$ parte de al menos un triple pitagórico?

Question

Estaba haciendo algunos problemas básicos de teoría de números de Rosen y me encontré con este problema:

Demuestre que todo número entero positivo $\gt$ $2$ forma parte de al menos un Pythagorean triple

Mi solución (parcial) :

Caso - 1 :

• Sea un número entero $t$ $\ge$ 3
• Supongamos que $t$ es de la forma $2^{j}$ para $j > 1$
• Dejemos que $m$ = $2^{j-1}$ y $n$ = $1$
• Así que.., $2mn$ = $t$ y por lo tanto $t$ pertenece a un triple pitagórico

Caso - 2 :

• Dejemos que $t$ = $2n + 1$
• WLOG , deje que $m = n + 1$
• Entonces $m$ y $n$ tienen paridad opuesta
• También , $m > n$
• Así que.., $m^{2}$ - $n^{2}$ $=$ $2n + 1$ $=$ $t$ Así que $t$ pertenece a un triple pitagórico

Mi problema:

¿Puede alguien ayudarme? No sé si estoy en lo cierto, soy todo pulgares; incluso una pista sería suficiente...

Answer 1

Utilizando la caracterización de estos triples, basta con demostrar que cualquier número de este tipo puede escribirse como $m^2-n^2$ , $2mn$ o $m^2+n^2$ con algunos números $m>n$ .

El caso $m^2-n^2$ cubre "la mayoría" de los números (sólo los $\equiv 2 \mod 4$ permanecen), el resto está cubierto por $2mn$ .

Answer 2

I. Sí. Prueba sin palabras :

$$(\color{brown}{2m})^2+(m^2-1)^2 = (m^2+1)^2$$

$$(\color{brown}{2m+1})^2+(2m^2+2m)^2 = (2m^2+2m+1)^2$$

II. Más alto.

Para probarlo para cuadruplica es más fácil, ya que los casos pares e Impares pueden combinarse en una sola identidad,

$$n^2+(n+1)^2+(n^2+n)^2 = (n^2+n+1)^2$$

y para quintuples ,

$$n^2 + (n-2)^2 + (2n+1)^2 + (3n^2+2)^2 = (3n^2+3)^2$$

Answer 3

Si $n$ es un entero impar, sea $m = \frac{n^2 - 1}2$ entonces $m+1$ , $m$ y $n$ son un triple pitagórico. ( $n^2 = 2m+1$ )

Si $n$ es par, que $m = \frac{n^2 - 4}4$ entonces $m+2$ , $m$ y $n$ son un triple pitagórico. $(n^2 = 4m+4)$

Answer 4

Si $t$ es impar y $t\geq 3$ entonces $m=(t+1)/2$ y $n=(t-1)/2$ son enteros positivos con $m^2-n^2=t.$ Y $(m^2-n^2,2mn, m^2+n^2)=(t,2mn, m^2+n^2)$ es un triple P.

Si $t$ es par y $t\geq 4$ dejar $m= t/2$ y $n=1$ . Entonces $m,n$ son enteros positivos con $m>n$ así que $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)=(m^2-n^2,t,m^2+n^2)$ es un triple P.

Answer 5

Para los triples primitivos, el lado $A$ puede ser cualquier número impar $>2$ y el lado $B$ puede ser cualquier múltiplo entero de $4$ . Si incluimos múltiplos como $(6,8,10)$ entonces los números pares que no son múltiplos de $4$ son. Por lo tanto, cada $n>2\land n\in\mathbb{N}$ forma parte de al menos un triple pitagórico.