Rompecabezas: Puede encontrar una prueba elemental que cada $n \gt 6$ puede representarse como una suma de números primos distintos de $O(\log n)$?

Question

Se puede encontrar un elemental prueba de que todos los $n \gt 6$ puede ser representada como una suma de $O(\log n)$ distintos de los números primos? Por ejemplo, $11 = 11$, $12 = 5 + 7$, $13 = 2 + 11$, $14 = 2 + 5 + 7$. Por otro lado, 6 no puede ser representada como la suma de los distintos números primos. Vinogradov del teorema implica esto, pero estoy esperando una simple demostración. Puedo demostrar la declaración, para mi propia satisfacción, pero creo que es un problema interesante y me pregunto ¿cuál es el más simple y el más riguroso enfoque?

Answer 1

Por el postulado de Bertrand, hay un primer entre $n/2$y $n$. Escoge el más grande tal prime y efectuar recursividad. El número disminuye por un factor de al menos $2$ en cada paso, así que podemos tomar a más $O(\log n)$ rondas.