Deje $x \in E$ ser un punto de Lebesgue de la densidad de $1$ (por la Densidad de Lebesgue Teorema, existe un punto). Fix $\varepsilon > 0$ tal que
$$\frac{m(E\cap(x - \varepsilon, x + \varepsilon))}{m((x - \varepsilon, x+ \varepsilon))} > \frac{1}{2}.$$
Ahora supongamos que no hay $y \in (0, \varepsilon)$ tal que $x - y, x + y \in E$. A continuación, $A:= -(E\cap(x - \varepsilon, x) - x)$ $B := E\cap(x, x + \varepsilon) - x$ son disjuntas${}^1$ subconjuntos medibles de $(0, \varepsilon)$. Entonces
\begin{align*}
m(E\cap(x - \varepsilon, x + \varepsilon)) &= m((E\cap(x - \varepsilon, x))\cup (E\cap(x, x + \varepsilon)))\\
&= m(E\cap(x - \varepsilon, x)) + m(E\cap(x, x + \varepsilon))\\
&= m(A) + m(B)\\
&= m(A\cup B)\\
&\leq m((0, \varepsilon))\\
&= \varepsilon.
\end{align*}
Pero, a continuación,
$$\frac{m(E\cap(x - \varepsilon, x + \varepsilon))}{m(x - \varepsilon, x + \varepsilon))} \leq \frac{\varepsilon}{2\varepsilon} = \frac{1}{2}$$
lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no es $y \in (0, \varepsilon)$ tal que $x - y, x + y \in E$. A continuación, ajuste de $\alpha = x - y$ $\beta = y$ tenemos $\{\alpha, \alpha + \beta, \alpha + 2\beta\} = \{x - y, x, x + y\} \subset E$.
${}^1$ Supongamos $z \in A\cap B$, luego $z \in (0, \varepsilon)$, $x - z \in E$ (como $z \in A$), y $x + z \in E$ ( $z \in B$ ). Por lo tanto, la hipótesis implica $A\cap B = \emptyset$.
