Grado de extensión del campo

Question

¿Si $p$ es el primer impar y $c=\cos(\frac{2\pi}{p})$, $s=\sin(\frac{2\pi}{p})$ entonces para que valores de $p$ no $\mathbb{Q}(s,c)=\mathbb{Q}(c)$?

Answer 1

Si $p \geq 3$ es un número entero entonces el grado de $K = \mathbb{Q}(\cos(2\pi/p))$$\mathbb{Q}$$\phi(p)/2$. Ahora supongamos que $p$ es impar deje $L = K(\sin(2 \pi/p))$. Por inducción se desprende de la suma de las fórmulas para $\sin$ $\cos$ que $\sin(2 \pi k /p) \in L$ $\cos(2 \pi k /p) \in L$ para todas integral de la $k$.

En particular, si $p \equiv 1$ ($\bmod$ $4$) entonces

$$ L \ni \sin(\frac{2(p-1)\pi}{4 p}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2 p}) = \cos(\frac{\pi}{2 p}) $$

y si $p \equiv 3$ ($\bmod$ $4$) entonces

$$ L \ni \sin(\frac{2(p+1)\pi}{4 p}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2 p}) = \cos(\frac{\pi}{2 p}). $$

Así, en todos los casos $\cos(\pi/(2p)) \in L$. Esto implica que $[L:\mathbb{Q}] \geq \phi(4p)/2 = \phi(p)$ y, por tanto,$L \neq K$.