Fondo para las 2 preguntas de geometría diferencial

Question

Me encontré con un par de preguntas en una colección de la geometría diferencial de los exámenes que no sé cómo se enfoque. Por supuesto, yo NO esperaba una solución a estos, pero sólo un toque.

1. Si $S\subset \mathbb{R}^3$ es un no-vacío de la superficie, muestran que existe un plano de $ax+by+cz=d$ $\mathbb{R}^3$ cuya intersección con $S$ es una colección de círculos y líneas.

2. Si $M$ es un n-dimensional colector incrustado en $\mathbb{R}^n$$k\geq m-n$, entonces existe un k-hyperplane $P$ tal que $P\cap M$ es un no-vacío suave colector de dimensión $n+k-m$.

Como he mencionado, me gustaría simplemente saber lo que se está probando.

Answer 1

Suena como que estas preguntas son las pruebas de conocimiento de algún tipo de pre-imagen de teoremas. Aquí hay un par para dar una idea de qué tipo de cosa que podría ser probado:

$1)$Si $X$ $Y$ son suaves colectores sin límite, $f:X\rightarrow Y$ un suave mapa entre ellos y $y$ regular valor de $y$, $f^{-1}(y)$ es un buen submanifold de $X$ de la dimensión de $\dim(X)-\dim(Y)$.

$2)$Si $X$ es un buen manifold con frontera, $Y$ un suave colector sin límite y $f:X\rightarrow Y$ es un buen mapa, si $y \in Y$ es un valor regular de $f$ $f|_{\partial X}$ $f^{-1}(y)$ es un buen $\dim(X)-\dim(Y)$ manifold con frontera $\partial X\cap f^{-1}(y)$.

Hay un par más, todo en esta vena. Creo $1$ debería ser suficiente para hacer dos preguntas (combinado con la clasificación de $1$-colectores).

Por supuesto, también puede ser la prueba de conocimiento de la transversalidad. Un caso simple de esto es la siguiente: se dice que $X$$Y$, dos submanifolds de un colector $Z$, se cruzan de manera transversal si por cualquier $x \in X\cap Y$,$T_xX+T_xY=T_xZ$. Tenemos:

$3)$ Si $X$ intersecta $Y$ transversalmente, a continuación, $X\cap Y$ es un submanifold de $Z$$\operatorname{codim}(X\cap Y)=\operatorname{codim}(X)+\operatorname{codim}(Y)$.

Estoy bastante seguro de que podría hacer que ambos problemas, ya sea con $1)$ o $3)$, $1)$ usted tendría la función de $(x,y,z)\mapsto ax+by+cz$ varios $a,b,c$ y una valor de $d$, $3)$ te gustaría encontrar un plano transversal de la intersección. Estas dos ideas son muy similares cuando se trata de aviones, ya que los aviones son sólo preimages de funciones regulares entre el$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$, por lo que la intersección de un plano es el mismo que la preimagen de los regulares de la función que determina el plano. Si tuviera que adivinar, yo asumiría que el curso es la prueba de pre-imagen de teoremas, ya que yo diría que son más "básico" en algún sentido de la transversalidad.