Condiciones para la extensión continua de una función en un conjunto abierto para su cierre

Question

$U$ Es un conjunto abierto en $\Bbb R^n$ y $f\colon U\to \Bbb R$ es una función continua. Supongamos que $f$ es uniformemente continua en cada subconjunto acotado de $U$.

Pregunta: $f$ continuamente prorrogable al cierre de $U$ $\Bbb R^n$?

Answer 1

Sí: fijar un $x_0$ en el límite de $U$. Entonces es uniformemente continua en $f$ $U\cap B(x_0,1)$. Si tomamos una secuencia % convergente de #% de $\{x_k\}$ #%, el $x_0$ de la secuencia es Cauchy. Tenemos que comprobar que el límite no depende de la secuencia solicitada.