Demostrando que $\sf Add$$(\aleph_\omega , 1)$ se derrumba cardenales $\leq \aleph_\omega$

Question

En primer lugar, permítanme corregir algunos de notación.

$\sf Fn$$(I, J, \kappa) = $ el poset de todas las funciones parciales $p$ tal que $|p| < \kappa$, dom$(p) \subseteq I$ y rng$(p) \subseteq J$. $\sf Add$$(\kappa, \lambda) = \sf Fn$$(\lambda \times \kappa, 2, \kappa)$

Lee la pregunta: "Mostrar que forzar con $\sf Add$$(\aleph_\omega , 1)$ contrae todos los cardenales $\aleph_\alpha$$\alpha \leq \omega$$\omega$. Sugerencia: Para cada una de las $n \in \omega$ encontrar una forma de codificación de un surjection de $\omega$ a $\omega_n$ en el genérico subconjunto de $\aleph_\omega$. El uso de una densidad de argumento."

He estado tratando de hacer esto por un tiempo y no puede conseguir. Yo sé que hay un problema muy similar a este en Kunen, pero su sugerencia no me ayuda. Sé que, en lugar de la poset $\sf Fn$$(\aleph_\omega \times 1, 2, \aleph_\omega)$ podríamos considerar el poset $\sf Fn$$(\aleph_\omega \times \omega_\omega, 2, \aleph_\omega)$ ya que va a dar lugar a la misma extensión genérica, pero todavía no estoy seguro de cómo el código de la surjections.

Gracias!

Answer 1

Deje $\Gamma\subset \omega_\omega$ denota el subconjunto genérico. De trabajo en $V[G]$, definimos $g:\omega\to\omega_\omega$ como sigue: $$g(n)=\begin{cases} 0, &\text{if } \operatorname{ot}(\Gamma\cap(\omega_{n+1}\setminus \omega_n))<\omega_n \\ \alpha, &\text{if }\operatorname{ot}(\Gamma\cap(\omega_{n+1}\setminus \omega_n))=\omega_n+\alpha. \end{casos}$$

No es difícil ver que $g$ es sobre. ($\operatorname{ot}(X)$ significa orden).

Edit: voy a agregar una prueba de que $g$ es sobre.

Para cada una de las $\alpha<\omega_\omega$, definir $$D_\alpha=\{p\in \operatorname{Add}(\aleph_\omega,1): \exists n\in\omega\ (\omega_{n+1}\setminus \omega_n)\subseteq \operatorname{dom}(p)\wedge \operatorname{ot}[p^{-1}(1)\cap (\omega_{n+1}\setminus \omega_n)]=\omega_n+\alpha\}$$

Observar que si $D_\alpha$ es densa, a continuación, $\alpha$ está en el rango de $g$. Por lo que es suficiente para mostrar que $D_\alpha$ es densa para cada $\alpha\in\omega_\omega$. Fix$\alpha\in\omega_\omega$$p\in \operatorname{Add}(\aleph_\omega,1)$. Ahora, elija $n\in \omega$, de modo que $\alpha<\omega_n$$|p|<\omega_n$. Deje $\xi=\sup(\operatorname{dom}(p)\cap (\omega_{n+1}\setminus \omega_n))+1$. Tenga en cuenta que $\xi\in\omega_{n+1}$ $|\operatorname{dom}(p)∩(\omega_{n+1}\setminus\omega_n)|<\omega_n$ y $\omega_{n+1}$ es regular.

Ahora definir una extensión de $q$ $p$ pertenecientes a $D_\alpha$ como sigue: $$\operatorname{dom}(q):=\operatorname{dom}(p)\cup (\omega_{n+1}\setminus\omega_n)$$ Sólo tenemos que definir $q$ $(\omega_{n+1}\setminus(\omega_n\cup \operatorname{dom}(p))$ $$q(\beta)=\begin{cases} 0 & \text{if }\> \beta<\xi \wedge \beta\notin \operatorname{dom}(p)\\ 1 & \text{if }\> \beta\in [\xi,\xi+\omega_n+\alpha)\\ 0 & \text{if }\>\beta\in[\xi+\omega_n+\alpha,\omega_{n+1})\end{cases}$$