Cuántos grupos de orden $n$ con centro {e} existen?

Question

Para qué números $n$ existe un grupo de orden $n$ con centro {e} ? ¿Y cuántos grupos hay para un orden determinado?

Los primeros números de este tipo son $6,10,12,14,18,20,21,...$ Grupos de orden $32,40,64$ , por ejemplo, no tienen centro {e}. Para $n=18$ tenemos $2$ grupos con centro {e}

¿Existe un criterio o fórmula fácil?

Answer 1

Estoy bastante seguro de que no hay un criterio general o una fórmula conocida, especialmente para encontrar el número de grupos con centro trivial.

Pero hay muchos ejemplos de familias de tales números $n$ . Por ejemplo $n$ orden de cualquier grupo simple no abeliano, $n = pq$ con $p > q$ primos tales que $q \nmid p-1$ etc

Además, si $G$ y $H$ tiene centro trivial, entonces también lo tiene $G \times H$ . Por lo tanto, el conjunto de tales números $n$ es cerrado bajo la multiplicación.

También hay que tener en cuenta que si un grupo es nilpotente, entonces tiene centro no trivial. Hay una descripción sencilla de los enteros $n$ (en términos de factorización de primos) tal que todo grupo de orden $n$ es nilpotente. Por lo tanto, si existe un grupo de orden $n$ con centro trivial, entonces $n$ no puede ser de esta forma.

Sin embargo, existen números $n$ tal que todo grupo de orden $n$ tiene centro no trivial, pero no todos los grupos de orden $n$ son nilpotentes. Algunos ejemplos son $n = 28, 40, 44, 63, 76, 88, 92, \cdots$ ( OEIS ) Describir los números así no me parece factible.