Es una función diferenciable en $(-2, 4)$ siempre integrable en $[-2, 4]$ ?

Question

Así que mi pregunta es, digamos que tengo una función que es diferenciable en $(-2, 4)$ . ¿Es siempre integrable en $[-2, 4]$ ?

Sé que si $f$ es difuso en $(-2, 4)$ entonces es continuo en $(-2, 4)$ . Y también sé que si $f$ es continua en $[-2, 4]$ entonces es integrable en $[-2, 4]$ . Sin embargo, me pregunto si existe tal función para que haya un problema en los puntos finales del intervalo cerrado de modo que sea diferenciable en el intervalo abierto, pero no integrable en el intervalo cerrado.

Answer 1

La función $f(x)= \frac 1x$ es diferenciable en $(0,1)$ pero no es integrable en $[0,1]$ .

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Sin embargo, si tienes una función $f$ que es diferenciable en $[0,1]$ entonces es necesariamente continuo en $[0,1]$ y por lo tanto, medible. Además, una función continua en un compacto está limitada, por lo tanto $f$ es delimitado, medible y por lo tanto integrable.

Answer 2

Generalmente no, pero con la suposición adicional de que está limitado sí. Para el caso sin límites tenemos fáciles contraejemplos, como $1/x$ o $1/ \ln x$ en $(0,1)$ .