Sea $f(x,y)$ sea una función continua de $R^2$ a $R$ . Supongamos además que para cada $x$ existe un único $y$ tal que $f(x,y)=0$ . Así, podemos definir la función $g(x)=y$ tal que $f(x,y)=0$ . Es $g$ ¿es continua?
Hola a todos,
Estoy trabajando en un proyecto y me he encontrado atascado en la pregunta del título. Estoy tratando de averiguar si las raíces de una función continua $f(x,y)$ varían continuamente según el argumento $x$ puede variar. Tengo una función particular $f$ en mi proyecto, pero no puedo resolverlo para $x$ o $y$ así que intento hacer las cosas en abstracto.
Podemos suponer además que existe un único $y$ para cada $x$ tal que $f(x,y)=0$ . Así, podemos definir la función $g(x)=y$ tal que $f(x,y)=0$ . Quiero saber si $g$ es continua.
De mis intentos de resolver esto, parece que el teorema de la función implícita podría indicar el camino, pero no estoy familiarizado con ese resultado y parece que sólo da una función continua en un subconjunto del dominio. Esperaba encontrar una respuesta elemental, pero tras revisar mis viejos libros de topología y análisis no he encontrado nada útil.
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¿Es el $g$ para su $f$ ¿una función? Porque no tiene por qué ser para una $f$ .
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La pregunta en amarillo no tiene sentido para mí.
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Uzman, lo siento, pero no entiendo tu comentario. ¿Qué quieres decir exactamente con tu segunda frase? La función $f$ tiene la propiedad de que para cada $x$ existe un único $y$ tal que $f(x,y)=0$ . He definido la función $g$ que asigna a cada $x$ el correspondiente único $y$ . Mi pregunta es si $g$ es continua.
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Zhw, me disculpo por la pregunta en amarillo no es clara. Intenté desarrollarla y precisar mi pregunta en el texto que aparece debajo. Si hay algo allí que no tiene sentido, por favor hágamelo saber.