Resolver

Question

Resolver $(\sqrt{5+2\sqrt{6}})^{x}+(\sqrt{5-2\sqrt{6}})^{x}=10$

Me cuadrado ambos lados y me $(5+2\sqrt{6})^{x}+(5-2\sqrt{6})^{x}=98$. Pero no sé cómo seguir. Por favor ayuda. Gracias.

Answer 1

Que $t=( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^{x}\implies (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^{x}=\frac{1}{t} $

Así se convierte en la ecuación,

$ t+\frac{1}{t}= 10\implies t^2-10t+1=0$ que es una ecuación cuadrática y tiene raíces $t=5+2\sqrt 6,5-2\sqrt 6$

Si $t=5+2\sqrt 6\implies ( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^{x}=5+2\sqrt 6\implies (5+2\sqrt 6)^{1-x/2}=1\implies 1-x/2=0\implies x=2$

Si $t=5-2\sqrt 6 \implies (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^{x}=5-2\sqrt 6=\frac{1}{5+2\sqrt 6}\implies (5+2\sqrt 6)^{1+x/2}=1\implies x=-2$

Así, $x=2,-2$ son las dos soluciones.

Verificación:

Poner $x=2$ en la ecuación original da L.H.S=$5+2\sqrt 6+5-2\sqrt 6=10=$R.H.S

Del mismo modo, también poniendo $x=-2$ da L.H.S=$5-2\sqrt 6+5+2\sqrt 6=10=$R.H.S

Answer 2

Buena solución, sólo para aclarar

$\left(5+2\sqrt{6}\right)^{\frac{x}{2}}\cdot \left(5-2\sqrt{6}\right)^{\frac{x}{2}}=\left[\left(5+2\sqrt{6}\right)\cdot \left(5-2\sqrt{6}\right)\right]^{\frac{x}{2}}=\left[5^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2\right]^{\frac{x}{2}}=\left(25-24\right)^{\frac{x}{2}}=1$

así $t=\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)^x$...