Encontrar el límite $\lim_\limits{x\to 0^+}{\left( e^{\frac{1}{\sin x}}-e^{\frac{1}{x}}\right)}$

Question

Encontrar el límite: $$\lim_\limits{x\to 0^+}{\left( e^{\frac{1}{\sin x}}-e^{\frac{1}{x}}\right)}$ $

Mediante inspección del gráfico, he encontrado el límite $+\infty$, pero yo no puedo comprobarlo de alguna manera (traté de descomposición en factores, usando DLH)... ¿Puede alguien dar un Consejo sobre eso? El límite debe ser hecho sin ningún aproximaciones, porque nosotros no hemos enseñados los todavía.

Answer 1

En primer lugar, usted puede mostrar que $$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=0.$$ This shows that $% $ $\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}}=1.$ahora, escribir $$e^{1/\sin x}-e^{1/x}=e^{1/x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)\frac{e^{\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}},$$ and letting $x\to 0 ^ + $ da\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\left(e^{1/\sin x}-e^{1/x}\right)&=\lim_{x\to 0}e^{1/x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{1/x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{1/x}(x-\sin x)}{x\sin x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{1/x}(x-\sin x)}{x^2}, \end{align*} desde $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. Continuando con el cálculo, este último límite es igual a $$ \lim_{x\to 0 ^ +} xe ^ {1 / x} \lim_ {x\to 0 ^ +} \frac {\sin x x} {x ^ 3} = \frac {1} {6} \lim_ {x\to 0 ^ +} xe ^ {1 / x} = \frac {1} {6} \lim_ {u\to\infty} \frac {e ^ u} {u}, $$ después de realizar la sustitución $u=\frac{1}{x}$. El último límite es $\infty$, por lo que el límite de que pedir es igual a $\infty$.