Encontrar lo que es igual a la suma dada

Question

Estoy dado de la siguiente suma:
$$\sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{2^{n+2}(n+2)}}$$
¿Cómo sé lo que es igual a? Parece algo así como un logaritmo, pero no exactamente, ¿cómo proceder para resolver este problema?

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que

$$\int_0^x t^{n+1}\,dt=\frac{x^{n+2}}{n+2} \tag 1$$

Ahora, suma ambos lados $n$ y que $x=1/2$.

Alerta de SPOILER: Desplazarse sobre el área resaltado para revelar la solución

$|x|<1$, Converge la serie $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{n+2}$. Así, $|x|<1$, sumamos a ambos lados de $(1)$ para obtener $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{n+2}=\sum_{n=0}^\infty \int_0^x t^{n+1}\,dt \tag 2$$For all $ x_0 < 1$ and $|x|\le x_0$, the uniform convergence of the series $\sum_{n=0}^\infty t ^ n $ allows us to interchange the summation and the integration in $ (2) $. Proceeding, we find that $$\begin{align}\\\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{n+2}&=\int_0^x \sum_{n=0}^\infty t^{n+1}\,dt\\\\&=\int_0^x \frac{t}{1-t}\,dt\\\\&=-x-\log(1-x)\tag 3\\\end{align}$$ Letting $x=1/2$ in $ 3$ yields the coveted result $% $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+2)2^{n+2}}=\log(2)-\frac12$y hemos terminado!

Answer 2

Si sabe que

$$-\log(1-x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}k$$

puede establecer $x=\frac12$ y deducir el primer término. Entonces

$$\frac12+\sum_{k=2}^\infty\frac1{2^kk}=\log2.$$