¿Por qué limita totalmente necesario completo para implicar compacto?

Question

¿Por qué "Totalmente delimitada" necesita "Completa" para implicar "compacto"? ¿No debería la definición de totalmente limitada implica la existencia de un subsequence convergente de cada secuencia?

Answer 1

No, totalmente delimitado no implica la existencia de subsecuencias convergentes. Por ejemplo, el % de espacio $\mathbb Q \cap [0,1]$, con la métrica usual, está totalmente delimitado pero es no compacto (ni completa por supuesto) se mostrará como cualquier secuencia de racionales que convergen a un número irracional.

Answer 2

No, "no", simplemente porque no es así.

Por ejemplo el conjunto de $\mathbb Q\cap[0,1]$ (con su habitual métrica heredada de $\mathbb R$) es totalmente limitada y seguramente encontrará secuencias en lo que no tienen subsecuencias convergentes.

Answer 3

De nada. Considerar $X=\Bbb Q\cap[0,1]$ como un subespacio de la línea verdadera. Esto está totalmente delimitado, pero no completa/compact.