¿Cada grupo infinito tiene un subgrupo máximo?

Question

$G$ es un grupo infinito.

1. ¿Es necesario cierto que existe un subgrupo $H$ $G$ y $H$ es máxima?

2. ¿Es posible que exista tal serie $H_1 < H_2 < H_3 <\cdots <G $ con la propiedad que cada $H_i$ allí existe $H_{i+1}$ tal que $H_i < H_{i+1}$?

Answer 1

Problema de Rotman pág. 324 10.25:

Las siguientes condiciones en un grupo son equivalentes:

• $G$ es divisible.

• Cada coeficiente distinto de cero de $G$ es infinito; y

• $G$ tiene subgrupos no máximo .

Es fácil ver por encima de los puntos son equivalentes. Si usted necesita los detalles, yo puedo agregar aquí.

Answer 2

Me gusta este ejemplo por su sencillez:

Sea $A$ cualquier grupo con un % del subgrupo apropiado $B$. Que $G = \prod_{i = 1}^{\infty}A$ y $H_n = \prod_{i = 1}^{n}A \times \prod_{i = n + 1}^{\infty}B$ y $H_1 < H_2 < \cdots < H_n < \cdots < G$.

Answer 3

Sea por ejemplo $G$ la dyadic racionales bajo adición, es decir, todos racionales de la forma $\dfrac{a}{2^k}$, donde $a$ gamas sobre los enteros y $k$ oscila sobre los enteros no negativos.

Entonces para cualquier $i$, que $G_i$ el conjunto de los enteros múltiplos de $\dfrac{1}{2^i}$.

Podemos jugar el mismo juego con $G$ la racionales bajo adición, $G_i$ el conjunto de los enteros múltiplos de $\dfrac{1}{i!}$.

Tenga en cuenta que en ambos casos $G$ es la Unión de la $G_i$.

Answer 4

De la misma manera, tienes $$\mathfrak{S}_2 \subsetneq \mathfrak{S}_3 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{S}_n \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{S}_{\infty}$$ where $\mathfrak{S}_{\infty}$ is the set of bijections $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ fijación todos sino finito muchos números.