¿Cuál es la hipótesis nula de la prueba de Mann-Whitney?

Question

Deje $X_1$ ser un valor aleatorio de la distribución 1 y deje $X_2$ ser un valor aleatorio de la distribución 2. Pensé que la hipótesis nula para la prueba de Mann-Whitney se $P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$.

Si puedo ejecutar simulaciones de la prueba de Mann-Whitney en los datos de distribuciones normales con igualdad de medios y de igualdad de varianzas, con $\alpha=0.05$, me sale error de Tipo I tarifas, las cuales están muy cerca de 0.05. Sin embargo, si hago las varianzas desiguales (pero deje los medios iguales), la proporción de simulaciones en las que se rechaza la hipótesis nula se convierte en mayor que 0.05, lo que no me esperaba, ya que $P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$ aún se mantiene. Esto sucede cuando utilizo wilcox.test en R, independientemente de si he exact=TRUE, exact=FALSE, correct=TRUEo exact=FALSE, correct=FALSE.

Es la hipótesis nula algo diferente de lo que he escrito más arriba, o es sólo que la prueba es inexacta en términos de error de Tipo I si las varianzas son desiguales?

Answer 1

De Hollander Y Wolfe pp 106-7,

Deje $F$ ser la función de distribución correspondiente a la población de 1 y $G$ ser la función de distribución correspondiente a la población 2. El hipótesis nula es: $H_O: F(t)=G(t)$ por cada $t$. El null la hipótesis afirma que la $X$ variable y el $Y$ variable tiene el misma distribución de probabilidad, pero la distribución no es especificado.

Estrictamente hablando, esto describe la prueba de Wilcoxon, sino $U=W-\frac{n(n+1)}{2}$, por lo que son equivalentes.