Estoy empezando con la definición estándar de un operador de momento angular en mecánica cuántica dado como $$\mathbf{L} = k(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) = k(\mathbf{r}\times\nabla),$$ donde $k=-\mathbf{i}\hbar$ a que se debe actuar en un complejo escalares $\psi$ que se presenta como una solución de la Schroedinger autovalor problema. Por lo tanto, la aplicación de dicho operador tiene la forma $$\mathbf{L}\psi=k(\mathbf{r}\times\nabla\psi).$$ Ahora se puede recordar que en la primera parte $\mathbf{r}$ es un integrable campo y así uno puede escribir el anterior en el formulario $$\mathbf{L}\psi = k(\nabla\phi\times\nabla\psi), \quad \text{where}\; \phi = \frac{|\mathbf{r}|^2}{2}.$$ Quien esté familiarizado con el antiguo estilo de análisis vectorial en la Hidrodinámica o con MHD, reconocerá inmediatamente en la expresión anterior el llamado "Clebsh Variables" ($\phi,\psi$) parametrización, también llamada "corriente de flujo" potenciales. Entonces es trivial para derivar una forma equivalente de la anterior en el correspondiente "Monge Representación" dado como $$\mathbf{L}\psi = \nabla\times(k\phi\nabla\psi).$$ Pero luego, el de arriba es puramente campo solenoidal. Por lo tanto, cualquier aplicación de la $\mathbf{L}$ operador $\mathbf{L}\cdot\mathbf{L} = \mathbf{L}^2$ necessarilly dar cero!!! Pero esto es en la recta contradicción con la dictums de la Mecánica Cuántica, donde el cuadrado del momento Angular se asocia siempre con los autovalores $l(l+1)$. Donde es el error en la anterior?
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Si no te gusta la forma física de la computación $\mathbf{L}^2$ mediante el uso de índices, uso de conmutador, o en virtud de coordenadas esféricas, aquí está el tradicional cálculo multivariable.
En primer lugar por la fórmula que dio: $$ \mathbf{L}\psi = k\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ \phi \partial_x\psi & \phi \partial_y\psi & \phi \partial_z\psi \end{vmatrix} \\ =k\left(\begin{vmatrix}\partial_y & \partial_z \\ \phi \partial_y\psi & \phi \partial_z\psi \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} \partial_x & \partial_z \\ \phi \partial_x\psi & \phi \partial_z\psi \end-{vmatrix}, \begin{vmatrix} \partial_x & \partial_y \\ \phi \partial_x\psi & \phi \partial_y\psi \end{vmatrix}\right) \\ =k\begin{pmatrix}\partial_y\phi \partial_z\psi - \partial_z\phi \partial_y\psi \\ \partial_z\phi \partial_x\psi - \partial_x\phi \partial_z\psi \\ \partial_x\phi \partial_y\psi - \partial_y\phi \partial_x\psi\end{pmatrix} := \begin{pmatrix}\mathbf{L}_x\psi \\ \mathbf{L}_y\psi \\ \mathbf{L}_z\psi\end{pmatrix}. $$ Entonces $$ \begin{aligned} \mathbf{L}\cdot \mathbf{L}\psi &= \mathbf{L}_x \mathbf{L}_x \psi+ \mathbf{L}_y\mathbf{L}_y \psi + \mathbf{L}_z \mathbf{L}_z \psi \\ &= k\mathbf{L}_x(\partial_y\phi \partial_z\psi - \partial_z\phi \partial_y\psi) \\ &\quad + k\mathbf{L}_y(\partial_z\phi \partial_x\psi - \partial_x\phi \partial_z\psi) \\ &\quad \;+k\mathbf{L}_z (\partial_x\phi \partial_y\psi - \partial_y\phi \partial_x\psi) \\ &=k^2\Big[ \partial_y\phi \partial_z(\partial_y\phi \partial_z\psi - \partial_z\phi \partial_y\psi) - \partial_z\phi \partial_y(\partial_y\phi \partial_z\psi - \partial_z\phi \partial_y\psi) \\ &\; +\partial_z\phi \partial_x(\partial_z\phi \partial_x\psi - \partial_x\phi \partial_z\psi) - \partial_x\phi \partial_z(\partial_z\phi \partial_x\psi - \partial_x\phi \partial_z\psi) \\ &\; + \partial_x\phi \partial_y(\partial_x\phi \partial_y\psi - \partial_y\phi \partial_x\psi) - \partial_y\phi \partial_x(\partial_x\phi \partial_y\psi - \partial_y\phi \partial_x\psi)\Big]. \end{aligned}$$ Y de inmediato me arrepentí de hacerlo...de todas formas haciendo uso de $\phi = (x^2+y^2+z^2)/2$ y la simplificación que se ha (pasado dos piezas de papel de desecho): $$ \begin{aligned} \mathbf{L}\cdot \mathbf{L}\psi &= k^2\Big( (y^2+z^2)\partial_{xx}\psi + (z^2+x^2)\partial_{yy}\psi + (x^2+y^2)\partial_{zz}\psi \\ &\quad \;-2xy\partial_{xy}\psi - 2yz\partial_{yz}\psi - 2zx\partial_{zx} \psi -2x\partial_x\psi - 2y\partial_y\psi -2z\partial_z\psi\Big). \end{aligned} $$ El uso de algunos de álgebra truco de los rendimientos de la tradicional fórmula de cálculo multivariable: $$ \mathbf{L}\cdot \mathbf{L}\psi = k^2\Big(\Delta \psi |\mathbf{r}|^2 - (\mathbf{r}\cdot \nabla)^2 \psi \mathbf{r}\cdot \nabla \psi \),\etiqueta{1} $$ donde $$ (\mathbf{r}\cdot \nabla)^2 = (x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z)^2. $$ Así que (1) es la mejor fórmula para el momento angular al cuadrado. En la mecánica cuántica, $\mathbf{L}^2$ $\hbar^2 l(l+1)$ de su valor propio, así que vamos a comprobar si el resultado anterior está de acuerdo con la deducción en el índice de notación, al $\psi = \chi_{0,0} = x$: $$ \mathbf{L}^2 \chi_{0,0} = i^2\manejadores^2(\Delta x |\mathbf{r}|^2 - (\mathbf{r}\cdot \nabla)^2 x - \mathbf{r}\cdot \nabla x ) = 2\manejadores^2 x= \manejadores^2 l(l+1)\chi_{0,0} $$ donde $l=1$ por lo que estamos contentos. Vamos a ver uno más $\psi =\chi_{1,-1} = (x-iy)/\sqrt{2}$: $$ \mathbf{L}^2 \chi_{1,-1} = i^2\manejadores^2\Big(0 |\mathbf{r}|^2 - (\mathbf{r}\cdot \nabla) (x-iy)/\sqrt{2} - \mathbf{r}\cdot (1/\sqrt{2},-i/\sqrt{2},0) \Big) = 2\manejadores^2 \chi_{1,-1}, $$ feliz de nuevo.
Gracias a todos por sus respuestas. La razón de la publicación anterior era mostrar los peligros detrás de algunas definiciones como la mencionada en la Wikipedia sin ningún otro comentario
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator#Orbital_angular_momentum_operator
Y por supuesto, como Raskolnikov señalado correctamente, los operadores no conmutan aquí de la misma como en el clásico cruz del producto, de ahí que el signo no es en absoluto inocente, ya que introduce un grave operador "ordenar" el problema. Pero si los tratamos de la misma manera como en el caso de los llamados "Convectivo Derivados", con la prioridad de la izquierda, es muy diferente de un caso.
