Definición de derivada parcial

Question

¿Cuál es la derivada parcial de $$\frac{\partial x}{\partial y}$$

al $x$ $y$ son una parte de una función de $f(x,y)$?

Utilizando un ejemplo de:

$$f(x,y) = x+y$$ Dada la definición de mantener todo lo demás constante y variable x con respecto a y (por lo tanto la configuración de la función a cero), sería corrrect decir que la derivada parcial es simplemente uno negativo?

La motivación para esto es la fórmula (tenga en cuenta que esto es sólo volver a organizar la fórmula para el total de derivados o diferencial):

$$\frac{dy}{dx} = -\frac {\partial F /\partial x}{\partial F / \partial y} +\frac{dF }{dx }\frac{\partial y}{\partial F}$$

Y si el Fs en el 2º trimestre de hecho, puede ser un factor fuera. Si ese es el caso, entonces:

$$\frac{\partial x}{\partial y} = \frac {\partial F /\partial x}{\partial F / \partial y} =\frac{dF }{dx }\frac{\partial y}{\partial F}-\frac{dy}{dx} $$

Answer 1

Las derivadas parciales se definen en términos de funciones. Total de productos derivados se definen en términos de las variables. Son el mismo concepto se define en 2 idiomas diferentes.

Derivadas parciales, cuando se usan correctamente, son siempre la derivada de una función con respecto a uno de sus parámetros. Así, por ejemplo, suponga que se dan a asumir:

$$f(x, y) = x^2y + \sin(x)$$

Y pide calcular $\frac{\partial f}{\partial x}$. Aquí, usted puede ver que el denominador es $x$, y así se busca que en la definición de $f$, ver que es el primer parámetro, y tomar la derivada de $f$ con respecto a ese primer parámetro. Así

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + \cos(x)$$

$\frac{\partial f}{\partial z}$ en este caso no tiene sentido, porque $z$ no se utiliza como uno de los parámetros que definen a $f$. Supongamos que se pide calcular

$$\frac{\partial f(z, {\color{red} x}^2)}{\partial {\color {green} x}}$$

En primer lugar, darse cuenta de que la red $x$ y el verde de la $x$ representan el 2 cosas diferentes. La red $x$ es una variable, el verde $x$ representa el parámetro utilizado para definir $f$. No son intercambiables, es de mal gusto usar el mismo nombre para 2 conceptos diferentes, pero no es demasiado infrecuente.

La segunda, la de arriba es una abreviación de $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z, x^2)$, es decir, tomar la derivada, a continuación, aplicar los argumentos. Su valor es $2zx^2 + \cos(z)$.

¿Cuál es la derivada parcial de $$\frac{\partial x}{\partial y}$$

al $x$ $y$ son una parte de una función de $f(x,y)$?

Nunca es correcto tomar la derivada parcial de una variable con respecto a otra variable, o de tomar la derivada parcial de un parámetro con respecto a otro parámetro. Es sólo conscientemente al tomar la derivada parcial de una función con respecto a uno de sus parámetros. Se debe mencionar que la referencia a un parámetro fuera de la definición de una función es un abuso de notación, el nombre no está en el alcance en ese momento.

Un total derivada es siempre de una variable con respecto a otra variable. A veces, un total de derivados será escrita como la derivada de una función con respecto a una variable, pero la función es una abreviatura de "la variable que representa la salida de una función".

Suponga que se dan

$$f(x) = x^2$$

Y pide calcular $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}$. Que no está definido. El $x$ en la definición de un parámetro, el $x$ en el denominador es una variable.

Por otro lado, lo que si se pide calcular $\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}$, entonces, tanto la anterior $x$s representan las variables. Para evaluar esta, se aplica el argumento, a continuación, calcular la derivada:

$$\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}$$ $$\frac{{\rm d}x^2}{{\rm d}x}$$ $$2x$$

Tenga en cuenta que el es el orden opuesto de lo que se hace con derivadas parciales.

Con una derivada parcial, primero calcular la derivada, a continuación, aplicar los argumentos. Con un total de derivados, que primero se aplican los argumentos, a continuación, calcular la derivada.

Total de productos derivados son el tipo de notación que usted esperaría de un científico al uso, porque las variables que representan conceptos como el tiempo, la temperatura, la fuerza de la gravedad, etc. Derivadas parciales son lo que los puristas de uso, dado que las funciones son muy fáciles de definir conceptos y facilitar la conexión con el cálculo diferencial para bases formales de las matemáticas.

Es común ver a estas anotaciones se confunde y se utiliza incorrectamente, incluso en libros de texto universitarios.

Answer 2

Si en un $n$-dimensional de "medio ambiente" $\Omega$ $n$- tupla $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ de coordinar las funciones ha sido seleccionado, a continuación, las funciones de $f:\>\Omega\to{\mathbb R}$ aparecen como "funciones de $n$ variables", y uno denota el valor de $f$${\bf p}=(p_1,\ldots,p_n)$$f(p_1,\ldots,p_n)$. Es sólo en una situación que tiene sentido hablar de derivadas parciales ${\partial f\over\partial x_k}$ que ellos mismos son funciones de $\Omega\to{\mathbb R}$.

En la situación a la mano tenemos el acuerdo en coordinar las funciones de $x:\>{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}$, y de manera similar a $y$. Por lo tanto, cualquier valor real de la función de $f$ definido en algunas de dominio abierto $\Omega\subset{\mathbb R}^2$ puede tener derivadas parciales ${\partial f\over\partial x}$${\partial f\over\partial y}$. En particular, este es el caso de la de coordinar las funciones de $x$ $y$ a sí mismos. Pensando en que uno llega a la conclusión de que $${\partial x\over\partial x}\equiv1,\qquad{\partial x\over \partial y}\equiv0\ ,$$ y lo mismo para $y$.