Evaluación de sumas utilizando residuos $(-1)^n/n^2$

Question

Soy un extranjero hacia análisis compelx, con muy poco saber que estoy planteando una pregunta, que alguien quiera ayudar con.

Evaluar:

$$\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$$

Disfrazado este es similar a $\zeta(2)$ pero ¿cómo se puede hacer uso de residuos y análisis complejo?

Yo necesito ayuda. Sólo me interesa.

La respuesta es $\displaystyle \frac{\pi^2}{48}$

Answer 1

El uso de $\boldsymbol{\pi\csc(\pi z)}$

Desde $\pi\csc(\pi z)$ ha residuo$(-1)^n$$z=n$$n\in\mathbb{Z}$, vamos a utilizar los contornos $$ \gamma_\infty=\lim\limits_{R\to\infty}Re^{2\pi i[0,1]}\qquad\text{y}\qquad\gamma_0=\lim\limits_{R\to0}Re^{2\pi i[0,1]} $$ A la suma de todos los $n\in\mathbb{Z}$ con la excepción de $n=0$, podemos utilizar la diferencia de los contornos, que los círculos de la no-cero enteros una vez en sentido antihorario. $$ \begin{align} 2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2} &=\frac1{2\pi i}\left(\int_{\gamma_\infty}\frac{\pi\csc(\pi z)}{z^2}\mathrm{d}z-\int_{\gamma_0}\frac{\pi\csc(\pi z)}{z^2}\mathrm{d}z\right)\\ &=\color{#C00000}{\frac1{2\pi i}\int_{\gamma_\infty}\frac{\pi\csc(\pi z)}{z^2}\mathrm{d}z}-\operatorname*{Res}_{z=0}\left(\color{#00A000}{\frac{\pi\csc(\pi z)}{z^2}}\right)\\ &=\color{#C00000}{0}-\operatorname*{Res}_{z=0}\left(\color{#00A000}{\frac1{z^2}\frac\pi{\pi z-\pi^3z^3/6+O\left(z^5\right)}}\right)\\ &=\color{#C00000}{0}-\operatorname*{Res}_{z=0}\left(\color{#00A000}{\frac1{z^3}+\frac{\pi^2}{6z}+O(z)}\right)\\ &=-\frac{\pi^2}6 \end{align} $$ porque, para $k\in\mathbb{Z}$ y $|z|=\pi\left(k+\frac12\right)$, $|\csc(z)|\le1$.

Por lo tanto, $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12} $$

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La Ampliación De Un Resultado Anterior

En esta respuesta, se muestra que $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6 $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \hphantom{=}&\frac1{1^2}{+}\frac1{2^2}+\frac1{3^2}{+}\frac1{4^2}+\frac1{5^2}{+}\frac1{6^2}+\frac1{7^2}+\dots\\ \hphantom{=}&\hphantom{\frac1{1^2}}\color{#C00000}{-\frac2{2^2}\hphantom{+\frac1{3^2}}-\frac2{4^2}\hphantom{+\frac1{5^2}}-\frac2{6^2}\hphantom{+\frac1{7^2}}-\dots}\\ =&\frac1{1^2}{-}\frac1{2^2}+\frac1{3^2}{-}\frac1{4^2}+\frac1{5^2}{-}\frac1{6^2}+\frac1{7^2}-\dots \end{align} $$ donde la serie en rojo es de dos tiempos de una cuarta parte de la serie sobre ella; es decir, la mitad de la serie por encima de ella. Por lo tanto, la alternancia de la serie es la mitad de la no-alterna de la serie; es decir, $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12} $$

Answer 2

Una variable compleja $s$, cuya parte real es mayor que cero, el Dirichlet eta función es definida por la serie $$\eta(s) := -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^s}.$ $

En particular, uno tiene

$$\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s),$$

donde $\zeta$ denota la función del zeta de Riemann. Con esto en mente, uno sólo necesita sustituir $s=2$ en la ecuación anterior. Supongo que usted está familiarizado con el famoso problema de Basilea.