Términos que se acercan cada vez más

Question

Posible duplicado:
¿Por qué no $d(x_n,x_{n+1}) \rightarrow 0$ como $n \rightarrow\infty $ implica ${x_n}$ es Cauchy?

Estaba pensando en secuencias en las que parece que los términos se acercan cada vez más, y me preguntaba si convergen.

Ahora vamos a definir primero algunas cosas. Cuando digo "los términos se acercan cada vez más", me refiero a "la distancia entre dos términos consecutivos se acerca a cero". En otras palabras, para una secuencia $ \left (x_n \right )$ ,

$$|x_n-x_{n-1}| \to 0$$

los mandatos consecutivos se acercan cada vez más.

Veamos un ejemplo: $ \left ( \ln n \right )$ . Claramente,

$$ \bigl | \ln (n) - \ln (n-1) \bigr | \to 0$$

y esto puede ser verificado mirando un gráfico. Al principio, vi esto y pensé $ \left (x_n \right )$ y $ \left ( \ln n \right )$ parecían secuencias de Cauchy, y esto me estuvo molestando por mucho tiempo, porque sabía $ \left ( \ln n \right )$ no se suponía que fuera Cauchy! Pero ahora me doy cuenta de que hay una sutil diferencia: para una secuencia Cauchy $ \left (y_n \right )$ ,

$$|y_n-y_{m}| \to 0$$

Así que en los casos de $ \left (x_n \right )$ y $ \left ( \ln n \right )$ puede ser cierto que consecutivos los términos están más juntos, pero dos arbitraria los términos no están necesariamente unidos. Así que $ \left ( \ln n \right )$ definitivamente no es caucásico.

¿Qué podemos llamar a secuencias como $ \left (x_n \right )$ y $ \left ( \ln n \right )$ donde los términos consecutivos se acercan más? Me gustaría proponer un nombre: llamémoslos Caucásico .

Una intuitiva vista geométrica de una secuencia caucásica $ \left (x_n \right )$ puede ser que tengas un montón de puntos en una línea, y a medida que avanzas en la secuencia, los puntos se acercan cada vez más. Me parece que esta secuencia convergería, ¿no? Obviamente mi lado intuitivo y mi lado analítico no están de acuerdo, porque $ \left ( \ln n \right )$ es caucásico pero no es caucásico.

Mi pregunta, finalmente, es, ¿por qué no convergen necesariamente las secuencias "caucásicas"?

Answer 1

Considere la secuencia $$0, 1, \frac {1}{2},0, \frac {1}{3}, \frac {2}{3},1, \frac {3}{4}, \frac {2}{4}, \frac {1}{4},0 , \frac {1}{5}, \frac {2}{5}, \frac {3}{5}, \frac {4}{5}, 1, \frac {5}{6}, \frac {4}{6}, \frac {3}{6}, \frac {2}{6}, \frac {1}{6},0, \frac {1}{7}, \frac {2}{7}, \dots. $$ Los términos sucesivos se acercan a entre sí pero la secuencia viaja de ida y vuelta entre $0$ y $1$ para siempre, así que no converge. De hecho, cada número real entre $0$ y $1$ es el límite de una subsecuente de nuestra secuencia.

Answer 2

Supongamos que se le da $(x_n)_{n \geq 1}$ y definir una secuencia $(a_n)_{n \geq 1}$ para todos $n$ por $$ a_n = \begin {cases} x_1, & n = 1, \\ x_n - x_{n-1}, & n > 1. \end {cases} $$ O, alternativamente, suponga que se le da $(a_n)_{n \geq 1}$ y definir una secuencia $(x_n)_{n \geq 1}$ para todos $n$ por $$ x_n = \sum_ {j=1}^n a_j. $$ En cualquiera de los dos escenarios, toma nota:

• $x_n - x_{n-1} \to 0$ como $n \to \infty $ si y sólo si $a_n \to 0$ como $n \to \infty $ y
• La secuencia $(x_n)_{n \geq 1}$ converge si y sólo si la serie $ \sum_ {n=1}^{ \infty } a_n$ converge.

Así que tu pregunta equivale en cierto sentido a preguntar por qué una serie puede divergir aunque su $n$ El término va a $0$ .

No estoy seguro de tener una buena y corta respuesta "intuitiva" a ninguna de las dos preguntas, pero al menos este hecho le da una gran cantidad de ejemplos. Y cualquier comprensión que puedas tener de las series puede ser ahora una especie de "importado" para la comprensión de este fenómeno.

Answer 3

Mi respuesta sería: Porque no son caucásicos .

Creo que la razón lógica es bastante clara. Cada secuencia convergente es Cauchy . Suponga que tiene una secuencia que no es una secuencia caucásica. Entonces existe una $ \varepsilon $ de tal manera que por cada $N$ siempre hay algo $n,m>N$ para el cual la distancia entre $x_n$ y $x_m$ es mayor que $ \varepsilon $ . Eso significa que si la secuencia convergiera en algún valor $y$ tendría que competir con algún otro número, porque la brecha entre la secuencia y $y$ no puede hacerse arbitrariamente pequeño. El hecho de que siempre haya una diferencia entre dos grandes (es decir, grandes $n,m$ ) los números de la secuencia no es especial en sí misma, es el hecho de que esta diferencia no desaparece. Si la diferencia no se desvanece como $n$ y $m$ se hagan más grandes, ¿cuál sería el valor límite que USTED sugeriría?

Si ser caucásico era un criterio suficiente para la convergencia, entonces $ \log (n)$ convergería aunque intuitivamente, se hace infinitamente grande! Las secuencias caucásicas realmente ayudan a definir la convergencia en primer lugar.

Answer 4

Un ejemplo es la serie Armónica, que $x_n = 1+ \frac {1}{2}+...+ \frac {1}{n}$ Entonces $x_n-x_{n-1} = \frac {1}{n}$ pero $x_n \rightarrow \infty $ .