¿Como sugiere el título, alguien me puede dar un ejemplo de un regular homeomorfa morfismo de afine algebraica no establece es un isomorfismo de sistemas algebraicos afines? Muchas gracias de antemano.
Respuesta
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Ampliamos en Takumi Murayama del comentario. El ejemplo común es tomar $$X = \mathbb{A}_k^1, \text{ }Y = V(x^3 - y^2) \subset \mathbb{A}_k^2,$$ and define$$F: X \to Y,\text{ }F(t) = (t^2, t^3).$$It is not hard to see this is a bijection. Because the Zariski closed subset of $X$, resp. $S$, are $X$ itself, resp. $S$ itself, together with all finite subsets, $F$ es un homeomorphism. Pero no es un isomorfismo, porque el mapa de las coordenadas de los anillos no es un isomorfismo.
Una más que interesante ejemplo es el ya mencionado Frobenius de morfismos (omnipresente en característica positiva de álgebra). Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de característica positiva $p$. Deje $n \ge 1$ y definir$$F: \mathbb{A}_k^n \to \mathbb{A}_k^n,\text{ }F(x_1, \dots, x_n) = (x_1^p, \dots, x_n^p).$$This is a bijection because every element of $k$ has a unique $p$th root. Moreover, for every polynomial $g \en k[x_1, \dots, x_n]$, $g^p = F^*(h)$ for some element $h \in k[x_1, \dots, x_n]$. Therefore,$$V(g) = V(g^p) = F^{-1}(V(h)) \implies F(V(g)) = V(h).$$So $F$ is a closed, continuous bijection, i.e., $F$ is a homeomorphism. However, $F$ is not an isomorphism since there is no $h \in k[x_1, \dots, x_n]$ such that $F^*h = x_1$.
