Tratando de resolver una ecuación impar mínima.

Question

Aquí hay un rompecabezas matemático en el que he estado trabajando -

El montaje: soy un perro, a 15 metros del agua. Un pato de goma está en el agua a 50 pies de la orilla y 140 pies a mi derecha. Esto hace una base triangular de 140 pies, altura 100 pies. Puedo correr 30fps en tierra, 4fps en el agua. ¿Qué es lo más rápido que puedo llegar al pato?

Dado que la única opción real es variar el punto en el que golpea el agua, tengo la imagen que muestra ese punto, y cómo produce dos triángulos rectos. Así que tenemos esta ecuación para minimizar.

$y=\frac{\sqrt{\left(2500+x^2\right)}}{30}+\frac{\sqrt{\left(2500+\left(140-x\right)^2\right)}}{4}$

Graficando esto se llega a la conclusión de que en X= 133,71, Y= 17,357. Llegué hasta aquí, pero al manipular para deshacerme de los radicales me metí en un agujero de conejo.

Según la información recibida, un estudiante de secundaria acudió a mí con este problema. Si la solución requiere cálculo, me encantaría ver el método, pero los estudiantes que tenían este problema no eran tan avanzados.

(Agradecería un título mejor para este problema)

Answer 1

El $x$ -valor al que $y$ alcanza su mínimo resulta ser la menor de las dos raíces reales del polinomio $11025000000 - 157500000 x + 4884100 x^2 - 61880 x^3 + 221 x^4$ que es irreducible sobre los enteros. Así que dudo que cualquier método a mano vaya a ser muy limpio.

Answer 2

Consulte el siguiente diagrama (espero que sea lo suficientemente claro, perdón por la mala calidad):

Queremos llegar desde el punto $P$ al grano $Q$ en el menor tiempo posible. Para su problema, $a=50,\,b=50$ y $c=140$ . Nuestra velocidad en el agua $v_w=4$ y en tierra, $v_l=30$ .

Sea el punto óptimo en el que debemos alcanzar la interfaz entre la tierra y el agua a una distancia horizontal $x$ de $Q$ (en dirección a $P$ ).

El tiempo que se tarda en recorrer $PR$ es $\dfrac{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}{v_l}$ y para atravesar $RQ$ es $\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_w}$ .

Por lo tanto, queremos minimizar $t=\dfrac{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}{v_l}+\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_w}$ .

Diferenciamos lo anterior con respecto a $x$ y lo hace igual a $0$ .

Lo conseguimos, $\dfrac{-(c-x)}{v_l\sqrt{(c-x)^2+b^2}}+\dfrac{x}{v_w\sqrt{a^2+x^2}}=0$

o $\dfrac{x}{v_w\sqrt{a^2+x^2}}=\dfrac{(c-x)}{v_l\sqrt{(c-x)^2+b^2}}$ .

De la figura, $\dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sin m$ y $\dfrac{(c-x)}{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}=\sin n$ .

Así, $\dfrac{\sin m}{v_w}=\dfrac{\sin n}{v_l}$ .

Por lo tanto, queremos llegar al agua en un punto tal que los ángulos $m$ y $n$ satisfacen la ecuación anterior. Como se deduce de la geometría, los ángulos $n$ y $m$ están limitados de tal manera que si uno de ellos está determinado entonces ambos lo están. Podemos obtener esta restricción observando que $x=c-b\tan n$ y así, $\tan m=\dfrac{x}{a}=\dfrac{c-b\tan n}{a}$ .

Esta no es una solución completa ya que al resolver estas dos ecuaciones para $m$ y $n$ es probablemente tan difícil como resolver el cuártico presentado por Greg Martin. Pero esperamos que esto proporcione una buena interpretación de la naturaleza de la solución.

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Este problema suele discutirse en relación con Ley de Snell en la óptica de rayos. La ley de Snell puede derivarse de El principio de Fermat que establece que el camino que sigue la luz entre dos puntos es tal que la luz tarda el menor tiempo en recorrerlo. Así, se puede interpretar el problema anterior como un rayo de luz que va desde el punto $P$ a $Q$ con velocidad $v_l$ en el aire y $v_w$ en el agua. Como la luz sigue el principio del tiempo mínimo, hemos demostrado la relación anterior $\dfrac{\sin m}{v_w}=\dfrac{\sin n}{v_l}$ (que es la ley de Snell) es válida para la luz (vaya a los enlaces para más detalles).