Que $a,b$ ser números enteros positivos. Encontrar el número de pares $(a,b)$ satisfacción $$\dfrac{ab}{1998}=\sqrt{a^2+b^2}+a+b.$ $
Respuesta
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En primer lugar, $\sqrt{a^2+b^2}$ tiene que ser entero. Por eso, $a$ $b$ provienen de ternas Pitagóricas y $$ a = d(n^2 m^2),\quad b=d\cdot2nm $$ para algunos enteros $d$, $n$, $m$ ($n > m$). Por lo tanto $\sqrt{a^2+b^2}=d(n^2 + m^2)$, y, a continuación, $$ d\frac{(n-m)(n+m)\cdot 2 nm}{1998} = n^2 + m^2 + n^2 m^2 + 2 nm=2n(n+m), $$ o $$ dm(n-m)=1998\Longrightarrow n = m + \frac{1998}{md}. $$
Número de $(n,m)$-pares es $$ \sum_{d\mediados de 1998} \sigma_0\Big(\frac{1998}{d}\Big)=\\ = 16+ 8+ 12+ 6+ 8+ 4+ 4+ 8+ 2+ 4+ 6+ 3+ 4+ 2+ 2+ 1=90, $$ donde $\sigma_0(n)$ es el número de divisores de a $n$. Pero $(a, b)$ puede repeticiones; encontré $42$ (realmente $42$!) los pares de ($(a,b)$$(b,a)$ son los mismos pares, por lo que no es $84$ soluciones): $$ (3997, 7988004), (3999, 2665332), (4000, 1999998), (4005, 891108), (4008, 669330), (4023, 299700), (4032, 225774), (4033, 219780), (4077, 102564), (4104, 77922), (4107, 75924), (4144, 57942), (4239, 36852), (4320, 28638), (4329, 27972), (4440, 21978), (4725, 14948), (4968, 12210), (4995, 11988), (5328, 9990), (5365, 9828), (6912, 6734), (6993, 6660), (7992, 5994), (8103, 5940), (9472, 5454), (12987, 4884), (15984, 4662), (16317, 4644), (20424, 4482), (30969, 4292), (39960, 4218), (40959, 4212), (53280, 4158), (111888, 4070), (114885, 4068), (151848, 4050), (336663, 4020), (447552, 4014), (1001997, 4004), (1334664, 4002), (3996000, 3998) $$
