¿Sabemos si los axiomas de los números reales son consistentes, completos o ninguno de los dos?
Y si es así, ¿es una consecuencia del teorema de Godel o de otra cosa?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los números reales pueden ser axiomatizados de muchas maneras diferentes. Me centraré en la interpretación principal de una teoría de primer orden de un campo ordenado. Comentaré otras alternativas al final de mi respuesta.
Sí, la teoría de los números reales también conocida como la teoría de verdaderos campos cerrados (RCF) está completo. De hecho, podemos escribir una teoría enumerable recursivamente que ya es suficiente para probar todo lo que es cierto en esa estructura.
Esta teoría también es consistente, porque los números reales exhiben un modelo de esa teoría, y una teoría en la lógica de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo [conjunto]. Los números reales forman un conjunto, y por lo tanto atestiguan que la teoría es consistente. Esto es, de hecho, una consecuencia de la teoría de Godel Completitud teorema.
Sin embargo, si combinamos ambos podemos obtener un muy buen resultado sobre los números reales, que no son una estructura en la que podamos desarrollar las leyes básicas de la aritmética de los números enteros. De hecho, los números enteros en sí no pueden ser definidos como un subconjunto de los números reales en la teoría de primer orden de los campos cerrados reales.
Por supuesto, se pueden discutir métodos alternativos para caracterizar los números reales. Tal vez en la lógica de segundo orden. Tal vez como una estructura particular de un lenguaje particular (por ejemplo, un campo exponencial; un campo ordenado con predicados extra para los enteros, y así sucesivamente). En diferentes idiomas, o en diferentes lógicas, podremos escribir diferentes axiomas, y la teoría de los números reales terminará siendo muy diferente.
En cualquier caso, sin embargo, si nos limitamos a la lógica de primer orden (donde se sostiene el teorema de la completitud), si consideramos "la teoría de los números reales" simplemente como el conjunto de todas las frases que son verdaderas en la estructura de los números reales, entonces las respuestas son ambas: es una teoría completa y es consistente. Esto se debe a que toda "teoría de una estructura" es una teoría completa y consistente.
La verdadera, e interesante, pregunta es si hay o no una "bonita" teoría que sea suficiente para probar todo lo que es verdad - como en el caso del campo ordenado, donde la RCF es suficiente para probar todo lo demás. Y por supuesto la respuesta aquí variará dependiendo del lenguaje que hayamos elegido y así sucesivamente.
Un par de palabras sobre el teorema de la incompletitud Aunque se conoce principalmente por el matemático profano como "una teoría no puede ser a la vez consistente y completa", o incluso peor "una teoría matemática consistente no puede probarlo todo", esto no es lo que el teorema dice en realidad.
El teorema afirma que si tenemos una teoría en la lógica de primer orden cuyos axiomas pueden ser reconocidos por un programa informático (es decir, un programa se detendrá cuando se le dé un axioma), y esa teoría es suficiente para expresar afirmaciones aritméticas básicas, entonces la teoría no puede ser a la vez consistente y completa.
Sin embargo, hay muchas teorías matemáticas que son consistentes y completas. Estas teorías no satisfacen los dos supuestos necesarios para que el teorema de incompletitud surta efecto. Por ejemplo, consideremos la teoría hecha de todos las frases que son verdaderas en los números naturales. Esta teoría es completa, porque cada frase es verdadera o falsa en una estructura fija; y esta teoría es consistente porque tiene un modelo (los números naturales). Pero esta teoría no es enumerable de forma recursiva, no hay ningún programa de ordenador que sea capaz de reconocer los axiomas.
En el otro extremo, la teoría de los campos cerrados reales, y una teoría estrechamente relacionada con la de los campos algebraicamente cerrados en una característica fija, ambas son consistentes y completas, y ambas son enumerables de manera recursiva.
Es una consecuencia muy agradable del teorema de incompletitud en el caso de estas dos teorías, que los números enteros no pueden ser definidos dentro de $ \Bbb R$ o dentro de $ \Bbb C$ . Si uno se adentra en los territorios teóricos de los modelos más profundos, entonces se puede demostrar que, de hecho, ambos modelos tienen muy pocos subconjuntos que puedan definir realmente.
Pero es muy importante recordar que el teorema de la incompletitud no es más que lo que es. Y es ciertamente no la afirmación de que ninguna teoría es a la vez consistente y completa.
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