¿En un ring: si los factores de cada elemento distinto de cero y no unidad en elementos primeros, es factorización sobre elementos irreducibles único?

Question

¿Por qué (no)?

Se me ocurrió esta pregunta al tratar de entender la definición de una UFD.

Answer 1

Pensé basado en la respuesta anterior, de jgon, me gustaría hablar un poco acerca de lo que sucede si $R$ no es un dominio. Tal vez algo más de un comentario extendido?

Si $R$ cero, divisores, entonces hay una gran cantidad de definiciones de lo irreductible de los medios. La norma es que el $a$ no unidad es irreducible si $a=bc$ implica $(a)=(b)$ o $(a)=(c)$. Como se puede ver, es bastante claro que el primer implica todavía irreductible. Si $p$ es el primer y $p=bc$, $p\mid b$ o $p\mid c$. Sin pérdida de generalidad supongamos $p\mid b$, pero también sabemos $b\mid p$ desde $p=bc$. Por lo tanto $(p)=(b)$ $p$ es irreductible. Claramente, el recíproco no se sostiene en general (ya que ni siquiera en los dominios de ver $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ por ejemplo).

Otra nota, realmente no necesitamos distinguir cero desde $0$ es primo si y sólo si $0$ es irreducible si y sólo si $(0)$ es un alojamiento ideal si y sólo si $R$ es una parte integral de dominio. Así que en un dominio, $0$ siempre es capaz de ser tenidos en cuenta en irreducibles o primos, sí.

Es interesante ver que el primer en realidad, no es lo suficientemente fuerte como para probar algunos de los más fuertes definiciones de irreductible. Por ejemplo, $a$, que no es unidad, es fuertemente irreducible si $a=bc$ implica que el $a=\lambda b$ o $a=\lambda c$ para algunos de una unidad de $\lambda \in U(R)$. Hay incluso los más fuertes (1) m-irreductible es si $(a)$ es máxima entre los principales ideales y muy fuertemente irreductible más fuerte todavía.

Escribí un poco más sobre él aquí si usted está interesado: http://mathoverflow.net/questions/101989/divisibility-and-factorization-in-rings-that-are-not-integral-domains/104795#104795

También, aquí es un muy buen papel, que analiza más de estos tipos de factorización de preguntas para anillos con cero divisores: http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rmjm/1181072068

Answer 2

Voy a suponer que estamos trabajando con un unital anillo.

Ahora, ciertamente, si se trata de un conmutativa de dominio, a continuación, el anillo es un UFD, ya que para que un dominio sea un UFD, es suficiente para demostrar que todos los irreducibles son los principales, y que cada elemento de factores irreducibles. Muchos libros de álgebra de mostrar esto, véase, por ejemplo, Artin. (Condición 5 aquí, o en la página 15 aquí para una prueba).

Este es inmediata, dada esta condición, ya que una irreductible debe basarse en un producto de elementos principales, pero luego si $p$ es irreductible, $p=u\prod_i q_i$, donde el $q_i$ es de los primeros y, por tanto, nonunits, y $u$ es una unidad. pero, a continuación, el producto sólo puede tener un plazo por parte de la definición de irreductible, por lo $p=uq_1$ es primo. Además, dado que los números primos son siempre irreductible, cada elemento del anillo excepto el 0 factores en un producto de irreducibles.

Para ser honesto, no estoy seguro de cómo acercarse a la nondomain caso, así que se los dejo para el futuro, ya sea a mí o a alguien de su dirección.

Para no conmutativa anillos, no sé mucho ya que es bastante oscuro, pero ver a esta pregunta aquí.