La motivación para y las diferencias entre las propiedades de medida, medida externa

Question

Esto está relacionado con mi teoría de la medida de la clase, pero no a la tarea. La motivación detrás de este post es para entender el panorama general de la relación entre las propiedades de la medida y el exterior de la medida.

Entiendo los detalles del cómo y el qué, pero no el por qué. Hemos dicho y probado que muchos de los resultados en la clase, y el profesor explica muy bien, pero necesito una aclaración.

Así pues, una medida $\mu$ es una función de conjunto en un campo de $\mathcal{F}$ a través de un conjunto subyacente $\Omega$ de manera tal que se cumple:

$1.$ Nonnegativity, y se puede tomar en el infinito como un valor de $\\$

$2.$ Cero de la medida de conjunto vacío $\\$

$3.$ Monotonía $\\$

$4.$ Contables de la suma de un discontinuo subclase de $\mathcal{F}$, lo que implica aditividad finita

$5.$ Contables subadditivity no necesariamente disjuntos subclase de $\mathcal{F}.$

Preguntas: Para $\#5,$ ¿por qué es la ecuación de tener $\leq$ e no $<$? Bajo qué condición(es) puede igualdad? También, mis notas dicen que los contables subadditivty implica finito subadditivity, pero ¿cómo?

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Una cubierta exterior de medida $\mu^{*}$ satisface $\#1, \#2, \#3, \#5.$ Según mis notas, monotonía y C. S. A. están juntos, más débiles que los contables de aditividad.

Preguntas: ¿Por Qué? También, ¿por qué es $\mu^{*}$ definido a lo largo del $\mathcal{P}(\Omega)$ mientras $\mu$ es no? También, ¿por qué es $\mu^{*}\bigg|\mathcal{M}(\mu^{*})$ finitely aditivo? Dada la aditividad finita de $\mu^{*}$, ¿por qué no es C. S. a?

Por último, ¿cuáles son las conclusiones?

Answer 1

1. Que countably aditividad implica finito subadditivity es porque después de una cantidad finita de conjuntos de $n$ puede establecer el $n+1, n+2, \dots $ define como el $\emptyset$ y este no lo cambio de la medida de la unión ni el valor de la suma.

2. En $\#5$ igualdad se mantiene para todos los grupos, luego de una medida, y el uso de algunos pares de conjuntos disjuntos ( $4$ ) que si vamos a reemplazar el $\leq$ estrictamente a la desigualdad, a continuación, nos gustaría obtener

$$\sum_i \mu(A_i) = \mu(\cup A_i) < \sum_i \mu(A_i)$$

3. Por otro lado $\mu^*$ es siempre definida en todos los subconjuntos de a $\mathcal{P}(\Omega)$, pero no se puede contables aditivo en algunos discontinuo de la familia (no medible de conjuntos), mientras que $\mu$ $\mu^*$ restringido a mejor conjuntos (algunos sigma álgebra), en el que countably aditividad siempre tiene (cuando son disjuntos a pares)

4. Ya declaró que una medida exterior satisface $\#5$, no sé por qué estás preguntando de nuevo.