¿Qué es lo que falla en este derivado?

Question

$$ f(x) = \frac{2}{3} x (x^2-1)^{-2/3} $$

y se busca f'(x).

Así, aplicando la regla del producto $ (uv)' = u'v + uv' $ con $ u=(x^2-1)^{-2/3} $ y $ v=\frac{2}{3} x $ Así que $ u'=-\frac{4}{3} x (x^2-1)^{-5/3} $ y $ v' = \frac{2}{3} $ obtengo

$$ f'(x) = - \frac{2}{9} (x^2-1)^{-5/3} x^2 + \frac{2}{3} (x^2-1)^{-2/3} $$

mientras que según Wolfram Alpha (ver forma alternativa), el resultado correcto es:

$$ f'(x) = - \frac{2}{9} (x^2-1)^{-5/3} x^2 - \frac{2}{3} (x^2-1)^{-5/3} $$

Así que, aparentemente, mi cálculo para $u'v$ es correcto, pero $uv'$ se equivoca. ¿Qué me falta aquí?

Answer 1

Estás muy cerca, pero simplemente te has multiplicado incorrectamente.

Tenga en cuenta que si $u' = -\frac{4}{3}x(x^2 - 1)^{-5/3}$ y $v = \frac{2}{3}x$ entonces $$u'v = -\frac{8}{9}x^2(x^2-1)^{-5/3}$$

Esto hará que su respuesta sea correcta. Para hacer coincidir W|A, sólo tienes que combinar las fracciones con cuidado.

Answer 2

Haciendo lo que has dicho, deberías encontrar $$f'(x)=-\frac{8}{9}(x^2-1)^{-5/3}x^2+\frac{2}{3}(x^2-1)^{-2/3}.$$

Ahora $$ (x^2-1)^{-2/3}=(x^2-1)(x^2-1)^{-5/3}. $$ Así que $$ f'(x)=-\frac{8}{9}(x^2-1)^{-5/3}x^2+\frac{2}{3}(x^2-1)(x^2-1)^{-5/3} $$ $$ = \left(\frac{2}{3}-\frac{8}{9}\right)(x^2-1)^{-5/3}x^2-\frac{2}{3}(x^2-1)^{-5/3} $$ $$ =\mbox{Wolfram Alpha's answer}. $$

Answer 3

Su $u'v$ se equivoca. Compruebe su cálculo.

Answer 4

Así que $$\begin{align} (uv)' = u'v + uv' &= \frac{-4}{3}x(x^2 - 1)^{-5/3}\frac{2}{3}x + (x^2 - 1)^{-2/3}\frac{2}{3} \\ &= \frac{-8}{9}x^2(x^2 - 1)^{-5/3} + \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{-2/3}\\ &= \frac{-\color{green}8}{\color{green}9}\color{green}x^\color{green}2(x^2 - 1)^{-5/3} + \frac{\color{red}2}{\color{red}3}(\color{red}x^\color{red}2-1)(x^2-1)^{-5/3} \\ &= \left[\frac{-\color{green}8}{\color{green}9}\color{green}x^\color{green}2 + \frac{\color{red}2}{\color{red}3}\color{red}x^\color{red}2\right](x^2 - 1)^{-5/3} - \frac{\color{red}2}{\color{red}3}(x^2 - 1)^{-5/3}\\ &= -\frac{2}{9}x^2(x^2 - 1)^{-5/3} - \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{-5/3}. \end{align} $$