¿Lo que ' s el valor de $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$?

Question

Para algunas series, es fácil decir si es convergente o no por la "prueba de la convergencia", por ejemplo, prueba de la razón. Sin embargo, es no trivial para calcular el valor de la suma cuando la serie converge. La cuestión es motivada desde el ejercicio sencillo para determinar si la serie $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}$ es convergente. Uno puede obtener inmediatamente que es convergente por la prueba de razón. Así que aquí está mi pregunta:

Cuál es el valor de $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k!}?$ $

Answer 1

La suma es igual a $2e$. En primer lugar, el término $k^2/k!$ puede ser parcialmente cancelado $k/(k-1)!$. En segundo lugar, esto puede ser escrito como $(k-1+1)/(k-1)!$. El término $k-1+1$ se divide en dos términos. En primer término, el $k-1$ puede ser cancelado una vez más, dándonos $e$. El segundo término lleva a $e$ inmediatamente. Así, la suma es $2\exp(1)$.

De manera similar, uno puede fácilmente calcular la suma aunque se reemplaza $k^2$ $k^n$, cualquier potencia de número entero positivo de $k$. El resultado es siempre un múltiplo de $e$.

Answer 2

El valor de $T_n := \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^n}{k!}$ $B_n \cdot e$ donde $B_n$ $n^{th}$ Campana número.

Para ver esto, observe que

$$\begin{align} T_{n+1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{n+1}}{k!} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)^n}{k!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^n {n \choose j} k^j \\ &= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^j}{k!} \\ &= \sum_{j=0}^{n} {n \choose j} T_j \end{align}$$

Esta es precisamente la fórmula de recursión que la Campana números de seguimiento, excepto en que cada término se multiplica por $e$.

Edit: yo no estaba consciente en el momento en el que he publicado mi respuesta, pero el argumento me dio va por el nombre de Dobiński de la fórmula.

Answer 3

Wolfram Alpha dice que es $2e$. Otra derivación es comenzar con $e^x=\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$, $\frac{d}{dx}x\frac{d}{dx}$ se aplican a ambos lados, y evaluar en $x=1$.

Answer 4

Consejo 1: $k^2=k(k-1)+k$. Consejo 2: simplificar la fracciones $k(k-1)/k!$ y $k/k!$. Consejo 3: escriba la extensión de la serie alrededor de $x=0$ de la función $x\mapsto\exp(x)$.