Cómo encontrar $\max_{f}\int_{0}^{\infty}f\left(x\right)dx$ sujeto a $\int_{0}^{\infty}xf\left(x\right)dx=x_{0}$ , donde $f$ es una función y $x_{0}$ ¿es una constante?
Respuestas
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Caso 1: Sin restricciones $f$
En $f(x)$ como una enorme función delta de Dirac centrada en algún pequeño $\epsilon > 0$ como $$f(x) = \frac{x_0}{\epsilon}\delta(x - \epsilon)$$ te da $$\int_{0}^{\infty} x f(x) dx = x_0$$ según proceda, y $$\int_{0}^{\infty} f(x) dx = \frac{x_0}{\epsilon}.$$ Dejar $\epsilon \to 0$ le da que el máximo es ilimitado (a menos que se le den más restricciones sobre $f$ ).
Caso 2: $f$ es una función de densidad de probabilidad
Entonces, por definición, $$\int_{0}^{\infty} f(x) dx \leq 1,$$ y tomando $f(x) = \delta(x - x_0)$ alcanza este límite. Obsérvese que este $f$ corresponde a un discreto variable aleatoria $X$ con $P(X = x_0) = 1$ .
Para mayor claridad, la pregunta puede formularse en términos de probabilidades:
Encuentre $\max_F (1 - F(0))$ sujeto a $E(X) = x_0$ .
Entonces la solución $X \equiv x_0$ descrito anteriormente se hace aún más evidente.
Dilip Sarwate
Puntos
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Desde $f$ es una función de densidad de probabilidad, $$\max_f \int_0^\infty f(x)\mathrm dx \leq \max_f \int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx = 1.$$ Desde $x_0$ es necesariamente un número positivo, entonces para cualquier positivo variable aleatoria $$\int_0^\infty f(x)\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx = 1$$ (ya que $f(x) = 0$ para $x < 0$ ) y así $\max_f \int_0^\infty f(x)\mathrm dx = 1$ .
O, ¿querías preguntar
¿Qué es la $\max_f \max_{x\in (0,\infty)} f(x)$ o funciones de densidad de probabilidad $f(x)$ s $\int_0^\infty xf(x)\mathrm dx = x_0$ donde $x_0$ es una constante positiva finita?
en cuyo caso la respuesta de TMM muestra que $f$ puede tener un valor arbitrariamente grande.
