Dar un ejemplo de serie
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{ and } \quad \sum_{n=1}^{\infty} b_n$$
tal que ambas convergen y la serie
$$\sum_{n=1}^{\infty} c_n$$
definido por
$$c_n = a_{n-1}b_1 + a_{n-2}b_2 + \cdots + a_1b_{n-1}$$
diverge.
Respuesta
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El ejemplo canónico es $$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$$
AGREGAR Dadas dos secuencias de $a_n,b_n$, la secuencia de $c_k=\sum_{i=1}^k a_ib_{k-i}$ es generalmente llamada la de Cauchy o producto de convolución de $a_n$$b_n$. Es un buen ejercicio (y no es nada fácil) para demostrar que si $a_n$ es absolutamente summable - que es $$\sum |a_n| $$ exists - and $b_n$ es summable, entonces el producto de Cauchy es summable y converge con el producto de las sumas. Esto se conoce como Merten del teorema.
AÑADIR que Hay un teorema (que se encuentra en Spivak del cálculo) que dice que si tanto $a_n$ $b_n$ son absolutamente summable, entonces la suma de la forma $$\sum_{i,j} c_{i,j}$$ where each product $a_\ell b_k$ appears exactly once will converge to $$\sum a_n\cdot \sum b_n$$
