Creo que podría ser simplemente que el operador de Dirac es invariante bajo isometrías, así que si $\phi$ es una isometría y $\psi$ una solución a $$D\psi = 0,$$ then $\phi^* \psi$ is also a solution, where $\phi^*$is pullback. Then it would be similar to how harmonic functions $f$ on the sphere -- $\nabla^2 f = 0$ -- come in representations of the rotation group, the $Y^l_m$.
En más detalle si $\phi$ es un diffemorphism, que en coordenadas toma la forma $y^\mu = y^\mu(x^\nu)$ (no es un tensor de expresión), y $v^\mu$ es un campo vectorial, entonces podemos definir un campo de vectores $$(\phi_* v^\mu)(\phi(p)) = \frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu} v^\nu(p)$$
llamado el pushforward de $v^\mu$. Naturalmente podemos pushforward cualquier tensor, en particular la métrica. Por definición, $\phi$ es una isometría si $$(\phi_* g_{\mu\nu})(\phi(p))= g_{\mu\nu}(\phi(p)).$$
Esto significa que si tenemos alguna tetrad (también conocido como un vierbein o un "frame"), que es un conjunto de campos vectoriales $e_a^\mu$ tal que $e_{a\mu} e^\mu_b = \eta_{ab}$ para algunos simétrica matriz $\eta_{ab}$ con la firma de $+---$, es empujado hacia adelante a otro tetrad. Dejo $\eta_{ab}$ ser general, porque en spinor problemas es más natural utilizar un null tetrad$$\eta_{ab} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix}.$$
Desde $\eta_{ab}$ tiene ceros en la diagonal todos los tetrad vectores son nulos. Es bien conocido (véase, por ejemplo, Spinors y el espacio-tiempo o el Newman-Penrose de papel) que a cada null tetrad corresponde exactamente dos bases de dos spinors, llamado díadas, decir $(o^A, \iota^A)$$(-o^A, \iota^A)$. Por lo tanto, al menos para isometrías conectado a la identidad, el pushforward de tétradas levanta a una pushforward de díadas. (Sin embargo, cuando el grupo de isometría no está simplemente conectado, esto podría no ser continua a nivel mundial, pero creo que no importa aquí, ya que podemos considerar isometrías cerca de la identidad, que nos llevará a la Mentira álgebra representaciones, y luego integramos, y descartar las representaciones que requiere pasar a la conecta simplemente a la cubierta.)
Ya podemos pushforward díadas podemos pushforward dos spinors (linealidad), ya que puede pushforward dos spinors podemos pushforward Dirac spinors. $\newcommand{\Dslash}{\!\not D}$ , En particular, para un Dirac spinor $\psi$, $\Dslash\psi$ por supuesto, también una de Dirac spinor, por lo que $$\beta = \phi_* (\Dslash\psi) = \phi_* (\Dslash \phi^* \phi_* \psi) $$ makes sense, where $\phi^*$ as the inverse of $\phi_*$ so the second equality is just inserting the identity. Now $\phi_* \Dslash \phi^*$ defines a differential operator, it is the transformed Dirac operator under the isometry $\phi$. But since the Dirac operator is defined by the metric and $\phi$ preserva la métrica, esto debe ser sólo el operador de Dirac de nuevo. (Usted probablemente puede hacer este argumento más convincente.)
Así, hemos establecido que $$\beta = \Dslash (\phi_*\psi). $$ In particular if $\beta = 0$, so that $\psi$ is a zero mode for the Dirac operator, then $\tilde{\psi} = \phi_* \psi$ es también una solución. Así, el grupo de isometría (o al menos su Mentira álgebra) actúa sobre cero modos.
