Probabilidad que $ax^2+bx+c$ no tiene no tiene ninguna raíz real después de rodar 3 dados.

Question

Suponga que $3$ dados y escribir el resultado como % coeficientes $a,b,c$en el % polinomio $ax^2+bx+c$respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad que este polinomio no tiene no tiene ninguna raíz real?

Por lo tanto, tengo que contar el número de triples $(a,b,c)$ tal que $b^2 < 4ac$, donde $a,b,c \in \{1,2,3,4,5,6\}$. No sé cómo puedo hacerlo. Por favor, me das un toque primero. Este problema es de un curso de probabilidad alta escuela, así que creo que debe tener una solución muy básica.

Answer 1

Si usted no tiene alguna idea, probablemente lo más fácil es dibujar una tabla de $6\times 6$ $4ac$ para todos los posibles $a,c$ pares de valores. (Será simétrica). Entonces puede concluir el número de %#% de #% para un determinado par $b$ y en definitiva todos estos.

Answer 2

Una celosía tridimensional que sería preferible para la investigación de este, pero podemos hacerlo con una cuadrícula bidimensional. Ya tenemos el deseo de contar la orden de los triples de que $ \ b^2 \ < \ 4ac \ $ , podemos configurar un entramado de $ \ a \ $ $ \ c \ $ de 1 a 6 (contenida en la luz verde de la plaza), y trazar las curvas de nivel para $ \ \frac{1}{4}b^2 \ $ $ \ b \ $ también de 1 a 6 . En cada valor entero de $ \ b \ $ , ahora podemos contar fácilmente el número de celosía puntos "de abajo" o en cada curva de nivel para encontrar el número de combinaciones que producen un valor discriminante $ \ b^2 - 4ac \ \ge \ 0 \ $ . (La línea roja diagonal es añadido para indicar la simetría en las opciones de de $ \ a \ $$ \ c \ $, lo que puede simplificar el escrutinio). A continuación, estos van a ser desechados de la cuenta de resultados deseados.

Nos encontramos con que el número de combinaciones para cada valor de $ \ b \ $ es

b = 1 : 36

b = 2 : 36 - 1 = 35

b = 3 : 36 - 3 = 33

b = 4 : 36 - 8 = 28

b = 5 : 36 - 14 = 22

b = 6 : 36 - 17 = 19

Como se encuentra en los otros solucionadores de aquí, el número total de combinaciones que conducen a valores complejos de ceros es 173 , haciendo que la probabilidad $ \ \frac{173}{216} \ . $

Answer 3

El seguimiento de Berci la respuesta:

Usted puede contar con que fuera simplemente y llegar a la respuesta: $\frac{89}{108}$.

Añadió más tarde: había cometido un error en mi contando! La respuesta es $\frac{43}{6^3}$

Aquí están los 43 posibilidades: [[1,2,1,0],[1,3,1,5],[1,4,1,12],[1,5,1,21],[1,6,1,32],[ 1,3,2,1],[1,4,2,8],[1,5,2,17],[1,6,2,28],[1,4,3,4],[1,5,3,13], [1,6,3,24],[1,4,4,0],[1,5,4,9],[1,6,4,20],[1,5,5,5],[1,6,5,16] ,[1,5,6,1],[1,6,6,12],[2,3,1,1],[2,4,1,8],[2,5,1,17],[2,6,1,28 ],[2,4,2,0],[2,5,2,9],[2,6,2,20],[2,5,3,1],[2,6,3,12],[2,6,4,4 ],[3,4,1,4],[3,5,1,13],[3,6,1,24],[3,5,2,1],[3,6,2,12],[3,6,3, 0],[4,4,1,0],[4,5,1,9],[4,6,1,20],[4,6,2,4],[5,5,1,5],[5,6,1, 16],[6,5,1,1],[6,6,1,12]]

Añadido más tarde [necesito dormir!] Los 43 valor real de las raíces. Por lo que la probabilidad de no raíces real es de $1-43/216 = 173/216$.

Answer 4

También en @Berci la respuesta, aquí es una variación que se puede hacer en alguna hoja de cálculo. Primero configura un 6x6 tabla con $4ac$ en cada celda. Para cada celda en la que desea que el número de b que son enteros, $\leq6$ que $b^2<4ac$. Como se trabaja con números enteros se puede reemplazar con $b^2\leq 4ac-1$, es decir,$b\leq\sqrt{4ac-1}$. Ese número (de b) resulta ser el mínimo de 6 y $\lfloor \sqrt{4ac-1}\rfloor$ (entero más grande $\leq \sqrt{4ac-1}$. De computación que para cada celda se obtiene:

\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 6 & 6 \\ 3 & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ 4 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ 4 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \end{array}

que luego la suma de hasta 173, por lo tanto la probabilidad de 173/216.

Para seguir en @nayrb pregunta, esto se generaliza a $n$-cara de los dados de una manera sencilla :

\begin{align*} p(n)=&\ \sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n \min(n,\lfloor \sqrt{4ac-1}\rfloor) \end{align*}

El límite de $n\rightarrow\infty$ es el caso continuo :

\begin{align*} p(\infty)=&\ \int_{a=0}^1\int_{b=0}^1 \min(1,\sqrt{4ac})= \frac{31-6\log 2}{36}\approx0.745587 \end{align*}