¿Es posible que una norma que genera: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, -23?

Question

Se trata de interpolaciones de Lagrange...

¿Es posible que una norma que genera la secuencia: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, -23?

El Consejo que nos dio es utilizar productos de suma, lo único a que puedo llegar es $\sum_{i=1}^{8}{2}$. No puedo subir con cualquier fórmula para un producto de adición que produciría algo como un 2 + 2 + 2 +...

Sé cómo utilizar la ecuación para la interpolación de Lagrange, pero no puedo ver cómo aplicar aquí...

Answer 1

[Este es un enfoque directo, evitando Lagrange inteprolation, simplemente porque es más fácil.]

Seguro, para $n=1,2,\dots,8$, su fórmula es $2n$. Así que quieres una fórmula:

$$f(n)=2n + g(n)$$

Donde $g(n)$ es una fórmula con $0=g(1)=g(2)=g(3)=\dots=g(8)$$g(9) = -41$. El más simple de tales $g$ la satisfacción de la condición de cero son de la forma:

$$g(n)=A(n-1)(n-2)\dots(n-8)$$

para algunas constantes $A$. Elija $A$, de modo que $g(9)=-41$.

Este es un ejemplo muy simple del método de diferencias finitas para interpolar una secuencia finita como un polinomio. En general, nosotros tenemos una secuencia:

$$a=(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)$$ Entonces podemos definir la simple diferencia:

$$\Delta a = (a_2-a_1,a_3-a_2,\dots,a_{n}-a_{n-1})$$

Y podemos repetir, dando $\Delta^2a$, $\Delta^3 a$, etc. También definimos $\Delta^0 a= a$.

entonces podemos escribir un polinomio. Deje $d_i$ ser el primer elemento de la seequence $\Delta^i a$. Luego de escribir el polinomio:

$$p(x) = \sum_{i=0}^n d_i\frac{(x-1)\dots(x-i)}{i!}$$

cuando, en el caso de que $i=0$, la aritmética y el denominador son la $1$.

Resulta que $p(i)=a_i$.

Ahora, nuestra secuencia $a=(2,4,6,8,10,12,14,16,-23)$ tiene:

$$\begin{align}\Delta^1 a &= (2,2,2,2,2,2,2,-41)\\ \Delta^2 a &= (0,0,0,0,0,0,-43)\\ \Delta^3 a &= (0,0,0,0,0,-43)\\ \Delta^4 a &= (0,0,0,0,-43)\\ \Delta^5 a &= (0,0,0,-43)\\ \Delta^6 a &= (0,0,-43)\\ \Delta^7 a &= (0,-43)\\ \Delta^8 a &= (-43)\\ \end{align}$$

Así $d_0=2$, $d_1=2$ y $d_2=d_3=d_4=d_5=d_6=d_7=0$ y, finalmente,$d_8=-43$.

Es el hecho de que estos $d_i$ son en su mayoría de cero, que hace que este ejemplo tan fácil.

Esto significa que $$p(x) = 2 + 2(x-1) - 43\frac{(x-1)(x-2)\dots(x-8)}{8!}$$

Me olvido de lo que esta técnica se llama - siempre he oído que se llama "las diferencias finitas," creo, pero podría tener un sistema más formal de nombre.

Answer 2

Para utilizar la interpolación de Lagrange, tenga en cuenta que usted tiene un conjunto de polinomios $L_1(x)$ a través de $L_9(x)$ tal que $L_i(i)=1, L_i(j)=0$ $i \neq j$ entonces la fórmula que desea es $2L_1(x)+4L_2(x)+\ldots-23L_9(x)$ ya que es un polinomio de grado octavo que está de acuerdo con la solución de Thomas Andrews en nueve puntos, que es lo mismo.

Answer 3

Solución de Thomas Andrews es el mejor, pero también esto puede considerar simplista pero más larga y voluminosa de la solución:

$$\begin{array}{lccr} \\ f(x) & = & & a_1\times(-1)^{1-1}\times\frac{1}{9!}(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_2\times(-1)^{2-1}\times\frac{2}{9!}(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_3\times(-1)^{3-1}\times\frac{3}{9!}(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_4\times(-1)^{4-1}\times\frac{4}{9!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_5\times(-1)^{5-1}\times\frac{5}{9!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_6\times(-1)^{6-1}\times\frac{6}{9!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_7\times(-1)^{7-1}\times\frac{7}{9!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9) \\ & & + & a_8\times(-1)^{8-1}\times\frac{8}{9!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-9) \\ & & + & a_9\times(-1)^{9-1}\times\frac{9}{9!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8) \\ \end{matriz} $$

Where $ a_1 = 2 $, $ a_2 = 4 $, $ a_3 = 6 $, $ a_4 = 8 $, $ a_5 = 10 $, $ a_6 = 12 $, $ a_7 = 14 $, $ a_8 = 16 $ and $ a_9 = -23$.

Esto puede parecer muy largo si se trabaja analíticamente. Pero si va a implementar métodos numéricos en computadora, puede ser automatizado y muy simplificado por un algoritmo de software simple como una solución general para generar secuencias discretas arbitrarias.