¿Se pueden añadir cualquier dos números irracionales no de la forma (m + A) y (n-A) para producir un número racional?

Question

$m$ y $n$ números racionales, un ser un número irracional.

Me preguntaba si dos números irracionales cuando agrega siempre rendir un número irracional. Todos los contra ejemplos que pude encontrar fueron los % de forma $(m+A) + (n-A) = m+n$.

¿Hay algún Counter-caso no de esta forma?

Answer 1

Que $a,b$ ser números irracionales tales que r$ = a + b\text {es racional} $$ entonces $b=r-a$, $a=0+a$, y $0$ es racional.

Answer 2

Ya que $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$ % todo $x \in \mathbb R$el $\sin$ $\cos$ las funciones y están irracional la mayor parte del tiempo. Por lo tanto, dos números irracionales suman puede producir un número racional.
ejemplo: $x=\frac{\pi}{8}$

Answer 3

He aquí otra forma de mirarlo. Deje $r$ $s$ ser de dos números irracionales que se suman a algún número racional $q$. Deje $m = (r+s)/2$ es el promedio de los dos números irracionales. Tenga en cuenta que $m = q/2$ $m$ es racional. Ahora si definimos $A = s - m$, entonces tenemos las siguientes:

• $r = m - A$
• $s = m + A$
• $m$ es racional y $A$ es irracional

Esto demuestra que cualquier par de números irracionales que racionales suma puede ser escrita en la forma dada en la OP -- con la ventaja de que los números racionales $n$ $m$ puede ser elegido para ser igual!

Answer 4

Vamos $i_1$, $i_2$ ser irracional, y $i_1 + i_2 = a$; con $a$ racional (de la asunción).

Entonces $$ i_1 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}\\ i_2 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} $$ donde $$b \equiv i_2-i_1$$

Caso 1: $b$ es irracional.

Si $b$ es irracional, entonces $i_1$ $i_2$ son de la forma que estamos tratando de evitar. Esto es porque si $a$ es racional, por lo que es $a/2$; si $b$ es irracional, por lo que es $b/2$.

Caso 2: $b$ es racional.

Sustituyendo $a-i_2$ $i_1$ en la definición de $b$, obtenemos $$i_2 = \frac{a+b}{2}$$

Pero, puesto que el $a$ $b$ son racionales en el Caso 2, entonces su suma debe ser racional. Esto significaría $i_2$ es racional, lo cual incumple nuestra hipótesis original. (Una línea similar conduce a $i_1$ tener que ser racional en el Caso 2, así.) Esto es una contradicción, así que aprendió $b$ debe ser irracional.

Por lo tanto, poner juntos, si dos irrationals suma a una racional, entonces son de la forma que estamos tratando de evitar. (Por lo tanto, la respuesta a la pregunta que se formula es "no".)