Pregunta de Artin ' libro de algebra de s

Question

Que $A$ ser una matriz de $n\times n$ tal que $A^r =I$ $A$ tiene exactamente un valor propio, entonces $A= \lambda I$.

Mi answe:

Igual que $A$ $n\times n$ matriz entonces polinomio característico tiene grado n y también exactamente una raíz así $p(x) = (x-a)^n$ ($p(x)$ es el polinomio de caracteres).

Ahora el % polinomio mínimo $m_A(x)|p(x) $también $m_A(x) | (x^r-1) =(x-\zeta_1)...(x-\zeta_r)$ (donde $\zeta_i $ son las raíces de rth de la unidad) por lo tanto, es el $m_A(x)$ $(x-\zeta_i)$ $i$. Como resultado $A$ es diagonalizable y $A$ es de la forma $A = \lambda I$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Sería mejor ser explícito sobre cuál es el $\lambda$ en el ultimo paso.

Dices "por lo tanto,..." pero no dices el motivo de este paso es cierto. ¿Qué propiedad necesita $\zeta_i$ para poder hacer este paso?

De hecho, ¿qué es la propiedad de $x^r-1$ que usted está usando aquí, realmente? ¿Si, en cambio, la pregunta dice, $A^r-A-I=0$, todavía sería verdad? ¿Si $A^3+4A^2+5A+2I=0$?