Cómo probar $\sin(1/x)$ no es uniformemente continua

Question

¿Cómo puedo probar $f(x)=\sin(1/x)$ no es uniformemente continuo?

(O: cuestión distinta, pero el mismo intención * cómo probar que $x\sin(x)$ no es uniformemente continua)

* Estoy tratando de entender cómo uno probaría no es uniformemente continuo para funciones distintas de la simple $f$ $x^n$. He visto una técnica siendo un $\epsilon$ y $x, y$ en forma de $\delta$ (por ejemplo $\delta/2$, etc.) y posteriormente demostrar que $f(x)-f(y)\ge\epsilon$

Answer 1

En última instancia, una muy breve de la solución podría ser dada a este problema, pero me he decidido a escribir en detalle cómo podría acercarse a él.

Desea anular la siguiente: $$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y, |x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon.$$

Usted puede escribir lo que la negación es más bien mecánicamente, el intercambio de cuantificadores universal y existencial, hasta que finalmente negar la implicación asegurando que $|x-y|<\delta$$|f(x)-f(y)|\geq \varepsilon$. Ver aquí para una discusión de la disección de análisis de problemas como este por Tim Gowers.

Es decir, quiere probar:

$$\exists \varepsilon>0,\forall\delta>0,\exists x,y,\text{ such that } |x-y|<\delta\text{ and }|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon.$$

Antes de dar el último argumento, es una buena idea experimentar en un "retroceso" de la moda; pensar acerca de dónde quiere terminar y cómo usted puede conseguir allí. A grandes rasgos, la conclusión "$|x-y|<\delta\text{ and }|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon$" va a decir que $x$ $y$ estará cerca mientras que $f(x)$ $f(y)$ permanecerá a una distancia $\varepsilon$ distancia. La propiedad de $\sin(1/x)$ que permite que esto suceda es que oscila como un loco entre el $1$ $-1$ más pequeños y más pequeños intervalos de $x$ valores. Así que habrá "cercanos" $x$ $y$ tal que $f(x)=-1$$f(y)=1$. La distancia entre los valores de la función aquí es $2$, mientras que la distancia entre los valores de entrada pueden ser arbitrariamente pequeño. Esto lleva a la conclusión de que $\varepsilon = 2$ será suficiente elección.

Luego, con $\varepsilon$ fija en $2$, e $\delta>0$ arbitrario pero fijo, usted necesita para mostrar que no se $x$$y$$|x-y|<\delta$$|f(x)-f(y)|\geq 2$. Como se indicó anteriormente, la última parte se puede lograr asegurando que $f(x)=-1$$f(y)=1$. Por lo $x$ $y$ es cierto que $\sin(1/x)=-1$$\sin(1/y)=1$? Utilice lo que sabe acerca de la función seno para responder a esta pregunta (yo voy a dejar esto para usted). Observe que las opciones de tal $x$ $y$ ser arbitrariamente cerca de $0$, y, en particular, usted puede elegir $x$$y$$0<x,y<\delta$, lo que implica que $|x-y|<\delta$.

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En gran parte el mismo enfoque se aplica a $x\sin(x)$, excepto en que su razón para no estar uniformemente continua de los cambios. Ahora el problema es donde $x$ se hace muy grande, y la frecuencia de la oscilación no cambia, pero la amplitud . Una sugerencia es considerar los valores de la función en $x=2\pi n$ $y=2\pi n + c$ donde $c>0$ es "pequeño", como $n$ va al infinito.

Answer 2

Elegir dos secuencias $T_n = \frac{1}{n}$ y $S_n = \frac{1}{n+\pi}$. La diferencia va a cero, como $n$ va hasta el infinito. $|f(S_n)-f(T_n)|=2|\cos n|$. Por lo tanto, no se encuentra sigma para cualquier épsilon mayor que cero (por definición).