¿Ha aparecido esta ecuación antes?

Question

Quiero saber si la siguiente ecuación ha aparecido en la literatura matemática antes, o si tiene alguna significación importante.

$$\sqrt{\frac{a+b+x}{c}}+\sqrt{\frac{b+c+x}{a}}+\sqrt{\frac{c+a+x}{b}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{x}},$ $ $a,b,c$ encuentran tres fija positiva real y $x$ es la variable desconocida.

Answer 1

Esto proporciona la explícita polinomio en $x$ (para los curiosos), aunque no estoy enterado si la ecuación que ha aparecido en la literatura matemática. Nos deshacemos de las raíces cuadradas multiplicando el $8$ signo de los cambios,

$$\prod^8 \left(\sqrt{\frac{a+b+x}{c}}\pm\sqrt{\frac{b+c+x}{a}}\pm\sqrt{\frac{a+c+x}{b}}\pm\sqrt{\frac{a+b+c}{x}}\right)=0$$

a continuación, la recopilación de los poderes de $x$. Resulta que el $8$th-deg factores en la ecuación lineal (cortado en cubos), cuadrático y cúbico. Por simplicidad, vamos,

$$\begin{aligned} p &= a+b+c\\ q &= ab+ac+bc\\ r &= abc \end{aligned}$$

A continuación,

$$(p+x)^3=0\tag1$$

$$r^2 - 2 q r x + (q^2 - 4 p r) x^2 = 0\tag2$$

$$p r^2 + r (-2 p q + 9 r) x + (p q^2 - 4 p^2 r + 6 q r) x^2 + (q^2 - 4 p r) x^3 = 0\tag3$$

Ejemplo:

Deje $a,b,c = 1,2,4$, luego

$$(7+x)^3=0\\ -16 + 56 x + 7 x^2 = 0\\ -112 + 248 x 119 x^2 + 7 x^3 = 0$$

Las raíces de la ecuación cuadrática resolver,

$$\sqrt{\frac{a+b+x}{c}}\pm\sqrt{\frac{b+c+x}{a}}+\sqrt{\frac{a+c+x}{b}}-\sqrt{\frac{a+b+c}{x}}=0$$

mientras que una raíz de la cúbico resuelve,

$$\sqrt{\frac{a+b+x}{c}}-\sqrt{\frac{b+c+x}{a}}-\sqrt{\frac{a+c+x}{b}}+\sqrt{\frac{a+b+c}{x}}=0$$

y otros dos, mientras que el lineal de la raíz se ocupa de los restantes tres cambios de signo.

Answer 2

Edito esta respuesta explícita el grado del polinomio resultante tener $x$ como root (me pregunto sobre el origen exacto de este extraño desconocido x. La explicación es tedioso y será presentado abreviado como sea posible, sólo para tener el grado del polinomio sin el uso de la teoría algebraica de números, que no es tan útil, sin saber los valores particulares de $a,b,c$).

Primero que todo uno ha $$\sqrt{\frac{b+c+x}{a}}+\sqrt{\frac{c+a+x}{b}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{x}}-\sqrt{\frac{a+b+x}{c}}$$ Cuadrado dos veces y, para mayor comodidad, hacer las siguientes anotaciones: $$\begin {cases}A=\frac{a+b+x}{c}+\frac{a+c+x}{b}\\B=\frac{a+b+c}{x}+\frac{b+c+x}{a}\\M=(\frac{a+b+x}{c})(\frac{a+c+x}{b})\\N=(\frac{a+b+x}{x})(\frac{b+c+x}{a})\\C=\frac{B-A}{2}\\D=\frac{B^2-A^2+4N-4M}{4}\end{cases}$$ Uno tiene el sistema lineal $$\begin{cases}\sqrt M+\sqrt N=C\\ A\sqrt M+B\sqrt N=D\end{cases}\qquad(*)$$ Así, por ejemplo, $$\sqrt M=\frac {CB-D}{B-A}\Rightarrow M=\left(\frac{CB-D}{B-A}\right)^2\qquad(**)$$ Por lo tanto racional resultante es $$\left(\frac{a+b+x}{c}\right)\left(\frac{a+c+x}{b}\right)\left(B-A\right)^2=\left(B^2+A^2+4M-2AB-4N\right)^2\qquad (***) $$ Explicando $(***)$ con valores de $a, b, c, x$ da $$G(x,a,b,c)-(H(x,a,b,c))^2=0$$ con $$G(x,a,b,c)=bc(ax)^2(x^2+A_1x+A_2)(A_3+x)^2(abc-A_4x)^2$$ $$H(x,a,b,c)=\{bc(x^2+(b+c)x+A_5)\}^2+\{ax((b+c)x+A_6)\}^2-2abcx\{(b+c)x+A_7)(x^2+(b+c)x+A_8)+2(ax^2+A_9x-A_{10})\}$$ donde $$\begin{cases}A_1=2a+b+c\\ A_2=a^2+ab+ac+bc\\ A_3=a+b+c\\ A_4=ab+ac-bc\\ A_5=a(a+b+c)\\ A_6=b(a+b)+c(a+c)\\ A_7=A_6\\ A_8=A_5\\A_9=a^2+ac-bc\\ A_{10}=b^2c+bc^2\end{cases}$$ Por lo tanto, uno puede ver a primera vista que el grado de $G$ $8$ y es así por el grado de $H^2$, de modo que el grado de la ecuación resultante podría ser, en general,$8$.

►Sin embargo, se podría tal vez para determinados valores de $a,b,c$ que los coeficientes de $x^8$ $G$ $H^2$ ser iguales, por lo que el grado eran menos de $8$; esto sucede cuando $$bca^2(ab+ac-bc)^2=[b^2c^2+4a^2+a^2(b+c)^2(1-4b^2c^2)]^2$$ which seems to be possible for some values of $a,b,c$.

►Por otro lado, la resolución también en $(*)$$N$, se obtiene $$N=\left(\frac{D-AC}{B-A}\right)^2$$ we can, in general, by multiplication and subtraction of the coefficients of $x^8$, eliminate the degree $8$ por lo que este grado puede ser reducido.

►Con los dos polinomios dando por el sistema de $(*)$, podemos eliminar el desconocido $x$ encontrar una relación $F(a,b,c)=0$ para ambos polinomios tienen raíces comunes (esto puede ser hecho por Sylvester' método, por ejemplo, que daría un gran cero determinante para $F(a,b,c)$

Me detengo aquí. Tengo ganas de ayudar a @pritam, asumiendo que él está realmente interesado en el raro ecuación propuesta (yo no descarto algún error en mi respuesta).