Diferencia entre el Teorema de Stokes y el Teorema de Divergencia

Question

Recientemente aprendí los dos y realmente no puedo notar la diferencia. No estoy seguro de si me estoy perdiendo algo, pero me parece que evalúan lo mismo usando métodos diferentes.
Con el Teorema de Stokes, me parece que evaluamos la integral de la superficie de flujo de un campo vectorial con la integral doble del rizo del campo vectorial salpicado con la componente vectorial tangente.
Entonces con el Teorema de la Divergencia, parece que evaluamos lo mismo, excepto que tomamos la triple integral de la divergencia del campo vectorial...

No estoy seguro de si lo estoy malinterpretando y he intentado buscar en Internet, pero sólo me dicen los métodos para usarlos. ¿Puede alguien explicarme en términos simples cómo diferenciarlas?

Aquí hay una pregunta que podría ayudar a aclarar mi confusión.
Utiliza dos métodos para calcular la integral de flujo $$\int_ {S}( \nabla \times { \textbf {F}}) \cdot dS$$
donde ${ \textbf {F}} = (y,z,x^2y^2)$ y $S$ es la superficie dada por $z=x^2 + y^2$ y $0 \leq z \leq 4$ .

No necesito necesariamente un método completo sobre esto, sino sólo (supongo) qué teoremas se relacionan con esto.
Se parece al Teorema de Stokes, con el rizo allí... así que este sería el Teorema de Stokes. Así que el primer método es a través de la ecuación dada, y luego el segundo sería evaluar la línea integral con el límite de $S$ ? ¿Pero cuál sería el límite...? ¿Sería el círculo cuando $z=0$ o el de $z=4$ ?

Answer 1

En cierto sentido, los teoremas de Stokes, de Green y de la divergencia son todos casos especiales del teorema de Stokes generalizado para las formas diferenciales $$\int_{\partial \Omega} \omega = \int_\Omega d\omega$$ pero no creo que sea eso lo que estás preguntando.

Los teoremas habituales (tridimensionales) de Stokes y de la divergencia implican ambos una integral de superficie, pero se encuentran en circunstancias bastante diferentes.

En el teorema de la divergencia, la superficie $S$ es la frontera de una región delimitada $R$ del espacio, y estás tomando el flujo a través de esta superficie de un campo vectorial $\bf F$ definido en $R$ y en su límite:

$$\iint_S {\bf F} \cdot d{\bf S} = \iiint_R \text{div}\;{\bf F}\; dV$$

En el teorema de Stokes, la superficie generalmente no es el límite de una región: en su lugar tiene un límite que es una curva $C$ estás tomando el flujo, no de un campo vectorial arbitrario, sino del rizo de algún otro campo:

$$\iint_S \text{curl}\; {\bf G} \cdot d{\bf S} = \oint_C {\bf G} \cdot d{\bf r}$$

Hay una situación en la que se aplican ambos: supongamos que su superficie $S$ es la frontera de una región delimitada $R$ y su campo vectorial $\bf F$ resulta ser el rizo de algún otro campo $\bf G$ . Como la divergencia del rizo es $0$ el teorema de la divergencia dice que el resultado es $0$ . Por otro lado, para Stokes la superficie no tiene límites (es una superficie cerrada), por lo que Stokes integra $\bf G$ alrededor de una curva vacía y obtiene $0$ también.

Answer 2

Resumiendo, el Teorema de Stokes evalúa el flujo que atraviesa una única superficie, mientras que el Teorema de Divergencia evalúa el flujo que entra y sale de un sólido a través de su(s) superficie(s).

Piensa en el Teorema de Stokes como "el aire que pasa por tu ventana", y en el Teorema de Divergencia como "el aire que entra y sale de tu habitación". Evidentemente, si sólo tuvieras la ventana, ambos resultados deberían coincidir, pero ¿qué pasa si también cuentas con la puerta de tu habitación?

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Para que lo sepas: se parecen porque ambos teoremas son en realidad casos especiales de una versión más generalizada del Teorema de Stokes.