No soy muy grande en matemáticas pero (es que), fije la teoría ingenua tiene un problema con la paradoja de Russell, lo derrotan este tipo de problemas en matemáticas? ¿Hay una forma más de teoría de conjuntos que ingenua teoría de conjuntos que supera este problema? ¿(Tal vez algo como superposición si es ambos o ninguno)?
Respuestas
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El Zermelo-Fraenkel los Axiomas de la teoría de conjuntos se han desarrollado en respuesta.
La clave axioma que evita la Paradoja de Russell es el Axioma de Especificación, que, a grandes rasgos, permite a los nuevos conjuntos de ser construido sobre la base de un predicado (condición), pero sólo se cuantificó a través de algunas conjunto.
Que es, para algunos predicado $p(x)$ y un conjunto $A$ el conjunto
$\{x \in A : p(x)\}$
existe por el axioma, sino construcciones de la forma:
$\{x : p(x) \}$
(no cuantificada a través de cualquier conjunto) no están permitidos.
Por lo tanto el contradictorio conjunto de $\{x : x \not\in x\}$ no está permitido. Si consideras $S = \{x \in A: x \not\in x\}$, no hay ninguna contradicción. La misma lógica como en la paradoja de Russell nos da ese $S \not\in S$, pero entonces la conclusión es que, simplemente,$S \not\in A$, en lugar de cualquier contradicción.
Hay otros problemas con Russell programa que condujo a Gödel del trabajo, que también es algo que usted debe comprobar fuera, pero ZF es donde Paradoja de Russell fue corregido.
Ben Millwood
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Soy consciente de los dos principales enfoques para la solución de la paradoja de Russell:
Uno es rechazar $x \not\in x$ como una fórmula. Esto es lo que Russell mismo hizo con su teoría de los tipos: habitantes en el universo son indexados con natural numers (tipos), y $x \in y$ es sólo una fórmula válida si el tipo de $y$ es mayor que el tipo de $x$. Básicamente, este rodajas el universo en "elementos", "conjuntos de elementos", "conjuntos de conjuntos de elementos", etc, y no hay ningún sector que admite un concepto de pertenencia de la misma.
Una desventaja de este enfoque es que luego tenemos, por ejemplo, muchas vacía de conjuntos de diferentes tipos. A veces esto es abordado mediante la introducción de tipo de cambio de automorfismos, por lo que de alguna manera se puede reconocer que el vacío conjuntos son realmente el mismo. Otro método es decir que la comprensión de las fórmulas están permitidas sólo si usted podría dar a los tipos de las variables, pero realmente no tiene que hacerlo – esta es la base de Quine de la Nueva Fundamentos de teoría de conjuntos. NF incluso tiene un conjunto universal, pero se las arregla para evitar Russell arruinando las cosas. Esta realidad conduce a un poco extraña situación en la que en NF el conjunto universal $V$ realmente satisface $V \in V$, y no satisfacer $V \not\in V$, por lo que no prohíbe este tipo de consideración por completo, solo que no está permitido cuando la construcción de conjuntos por comprensión.
El otro enfoque principal es permitir $x \not\in x$, pero rechazan la formación del conjunto de $\{x : x\not\in x\}$. Algunos argumentaron que este conjunto es problemático porque es, en cierto sentido, demasiado grande, una considerable porción de la totalidad del universo – si sólo nos pegado a cosas sensibles como $\mathbb N$$\mathbb R$$\aleph_\omega$, entonces todo estaría bien. Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos (ZF) propone la construcción de conjuntos de medios más concretos: comenzar con cosas que sabe que son conjuntos, como el conjunto vacío, y las operaciones que usted sabe hacer conjuntos, como la unión y el poder establecido, y sólo mantener la aplicación de esas operaciones, y tomar todos los conjuntos que usted puede probar que existe en este camino. ZF sólo permite la selección de subconjuntos de conjuntos existentes, por propiedades arbitrarias, que es$\{x \in A : p(x) \}$, en lugar del más general de la comprensión de la $\{x : p(x)\}$ que arruinado todo.
Como una nota al margen, ZF en realidad incluye el Axioma de Fundación, lo que implica que $x\not\in x$ es cierto para todos los $x$. Pero también hay teorías como la de ZF, pero sin Fundamento en el que algunos $x$ contienen a sí mismos.
rajb245
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290
Conducir al desarrollo de una serie de soluciones en lógica y teoría de conjuntos, así como otras ideas. Usted puede encontrar una buena introducción al tema en la sección de la Enciclopedia de Stanford de la filosofía en la paradoja de Russell en la lógica contemporánea.
Passing By
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A lo mejor de mi conocimiento, la teoría de tipos http://en.wikipedia.org/wiki/Type_theory , fue diseñado específicamente para esta dirección.
Básicamente se restringen los objetos que puede referirse a, por la elección de los tipos.
MJD
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Otra manera de escapar de la paradoja de Russell, aún no se menciona en las respuestas aquí, es Morse-Kelley teoría de conjuntos. En MK teoría de conjuntos, hay buenas colecciones (juegos) y la mala colecciones (clases) y sólo la buena colecciones (juegos), se permitió que los miembros; a menos que $x$ es un conjunto, $x\notin y$ tiene para todos los $y$.
Supongamos $\Phi$ es de alguna propiedad. En la ingenua teoría de conjuntos, se puede construir $$\{x\mid \Phi(x)\}$$ the set of all $x$ with property $\Phi$; this is the principle that causes the trouble of Russell's paradox. In ZF set theory, this unrestricted comprehension is forbidden; all you can have is $$\{x\in S\mid \Phi(x)\}$$ which is the subset of $S$ for which $\Phi$ holds. MK goes a different way. $\{x\mid \Phi(x)\}$ is allowed, but it only represents the set of all sets $x$ with property $\Phi$. That is, it is the collection of all $x$ such that $x$ has property $\Phi$ and $x$ es un conjunto.
Ahora tome $\Phi(x) = "x\notin x"$ y deje $S = \{x\mid x\notin x\}$. En la ingenua teoría de conjuntos tenemos $S\in S$ si y sólo si $S\notin S$, lo cual es absurdo. Pero en MK teoría de conjuntos tenemos $S\in S$ si y sólo si $S\notin S$ e $S$ es un conjunto. No hay ninguna contradicción aquí; hemos meramente demostrado que $S$ no es un conjunto. Desde $S$ no es un conjunto, no está permitido para ser miembro de cualquier colección, por lo $S\notin T$ es cierto para todos los $T$, y, en particular,$S\notin S$. Todo está bien.
En MK teoría de conjuntos también se puede construir un universal de la clase $V$ que contiene todos los conjuntos-pero $V$ sí no es un juego y no es un miembro de sí misma.
