Deje $A$ ser un infinito cíclico grupo y $B$ ser un grupo cíclico de orden $n$. Supongamos que $$0 \to A \to G \to B \to 0$$ es una breve secuencia exacta de abelian grupos. Lo que podría $G$?
Es suficientemente claro que $G = \mathbb{Z} \oplus C_m$ obras, para todos los $m$ tal que $m$ divide $n$$\textrm{gcd}(m, n/m) = 1$, por el teorema del resto Chino. $A$ $B$ son finitely generados, por lo $G$ es así; por lo tanto la estructura teorema de finitely generado abelian grupos nos dice que este es exhaustiva. Sin embargo, hay un enfoque más directo (en el sentido de no usar un mazo) a esta fácil de aspecto ejercicio? (Es el ejercicio 6.2 en Massey es Un curso básico de topología algebraica.)
Por ejemplo, por tensoring con $\mathbb{Q}$, se obtiene un derecho de la secuencia exacta $$\mathbb{Q} \to G \otimes \mathbb{Q} \to 0 \to 0$$ que nos dice que la parte libre de $G$ tiene rango en la mayoría de los $1$, y teniendo en cuenta $\textrm{Hom}(-, \mathbb{Z})$, se obtiene un derecho de la secuencia exacta $$0 \to \textrm{Hom}(G, \mathbb{Z}) \to \mathbb{Z} \to 0$$ el cual indica la parte libre de $G$ tiene rango exactamente $1$. ¿Qué podemos decir acerca de la torsión de la parte?
