Puntos cerrados pero no racionales de un cúbico

Question

En Mumford Libro Rojo de las Variedades y de los Esquemas de la página 102, dio el ejemplo de la cerrada, pero no de puntos racionales de la cúbico $y^2=x^3-x$ sobre el verdadero campo : tengo cierta dificultad para recuperar primaria de los métodos de la figura que él trazó. Especialmente, parece dar a entender que estos puntos cercanos (donde el residuo de campo es el campo complejo) forman un conjunto homeomórficos a la región de $y^2>x^3-x$ en el avión real (que es por lo que representa un cilindro en el plano proyectivo). Puede alguien darme una explicación sencilla ? (Supongo que la máxima ideales del espectro de la álgebra definida por el cúbicos tiene que parametrizar el camino correcto ?)

Answer 1

Ok, yo creo que yo sé cuál es el problema. Creo que usted está tomando Ejemplo L en Mumford del libro (pág.100-101) demasiado literalmente, y usted está pensando que el truco que se utiliza en el Ejemplo L es algo más general que se puede utilizar para cualquier ecuación... yo no creo que este sea el caso, y usted tendrá que hacer algo ligeramente diferente para la ecuación cúbica si desea parametrizar el no de puntos racionales en términos de máxima ideales de la función de campo.

Primero, permítanme explicarles lo que está sucediendo en el Ejemplo L. Tome $k_0=\mathbb{R}$ algebraicas cierre de $k=\mathbb{C}$, vamos
$$X_0 = \operatorname{Spec}{(\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1))},$$ y $X=X_0\times_{k_0} k$. A continuación, $X$ es una cónica afín con $2$ puntos en el infinito. Como en Mumford del libro, que se puede visualizar $X$ como una esfera en $\mathbb{C}^2$, y el de ecuador, $X\cap \mathbb{R}^2$, es un círculo de radio $1$. El resto de los puntos no son racionales (no definido $\mathbb{R}$), y que corresponden a los dos (abierto) de los hemisferios de la esfera. Hasta conjugación, $(a+bi,c+di)\in X$ $(a-bi,c-di)\in X$ son identificados. Por lo tanto, la conjugación identifica un punto en un hemisferio con otro punto en el otro hemisferio. Por lo tanto, podemos elegir los puntos en uno de los hemisferios (decir el hemisferio norte) como representantes de las organizaciones no-racional puntos. El norte de abrir hemisferio está en correspondencia 1-1 con el interior de $x^2+y^2=1$, por lo tanto la no-racional puntos hasta conjugación son parametrizadas por $\{(\alpha,\beta) : \alpha^2+\beta^2<1\}$.

¿Cómo podemos escribir esta correspondencia en términos de máxima ideales? Necesitamos una familia de máxima ideales $\mathcal{M}$$\mathbb{R}[x,y]$, de tal manera que el lugar geométrico de cada una de las $\mathcal{M}$ es, precisamente, un par de conjugar los puntos (definido más de $\mathbb{C}$)$X$. Una forma de hacerlo es cortar el círculo de $X$, con una línea definida sobre $\mathbb{R}$, de tal manera que los puntos de intersección no son racionales (real). Deje $\alpha$ $\beta$ ser reales y deje $L$ ser la línea de $\alpha x + \beta y = 1$ (podemos escribir cualquier línea en $\mathbb{R}^2$ como esta). Si usted trata de encontrar la intersección de $X/\mathbb{C} : x^2+y^2=1$$L$, usted encontrará que la condición para ambos puntos a ser complejo es, precisamente, $\alpha^2+\beta^2<1$ (los puntos de intersección son siempre complejos conjugados porque $L$ se define sobre $\mathbb{R}$). Por otro lado, si usted elige dos puntos de $P=(a+bi,c+di)$$Q=(a-bi,c-di)$$X$, y encontrar la línea de $L=\overline{PQ} : \gamma x + \delta y =1$, se puede demostrar que los $\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ también $\gamma^2+\delta^2<1$. Por lo tanto, los pares de complejo conjugado puntos en $X$ son parametrizadas por la intersección de las $X$ y las líneas arbitrarias $\alpha x + \beta y =1$$\alpha^2+\beta^2<1$. En términos de máxima ideales, los pares de conjugar los puntos son parametrizadas por la máxima ideales $\mathcal{M}_{\alpha,\beta} = (x^2+y^2-1,\alpha x +\beta y -1)$,$\alpha^2+\beta^2<1$.

Que el Ejemplo de L. Ahora usted debe tratar de hacer algo similar, por Ejemplo M, donde $k_0=\mathbb{R}$ algebraicas cierre de $k=\mathbb{C}$,
$$X_0 = \operatorname{Spec}{(\mathbb{R}[x,y]/(y^2 - x(x^2-1)))},$$ y $X=X_0\times_{k_0} k$, como antes. Una curva elíptica, como $X: y^2=x(x^2-1)$, es un complejo de toro cuando se considera más de $\mathbb{C}$. Más concretamente, se puede encontrar una celosía $\Lambda$ tal que $X \cong \mathbb{C}/\Lambda$. El verdadero locus de $X$ tiene dos componentes conectados, que corresponden a la intersección de la real de avión $\mathbb{R}^2$ con el torus $X$$\mathbb{C}^2$, por lo que la intersección se vería como dos círculos en $\mathbb{R}^2$ (a excepción de que uno de los puntos en un círculo es el punto en el infinito de $X_0$). Complejo conjugación identifica los puntos en el toro, y podemos elegir el medio de un abierto de toro como un conjunto de representantes de las organizaciones no-racional puntos en $X$. Este es débilmente representado en Mumford del libro como un cilindro, cuyos extremos son los dos componentes conectados de la real locus. Para hacer este riguroso, tienes que ir como lo hicimos anteriormente: encontrar un ideal maximal cuyo locus es precisamente un par de conjugar los puntos en $X$. Una sugerencia: si se cruzan una línea con un cúbicos, tendrá 3 puntos reales, o un punto y un par de complejo conjugado puntos (al menos, ese es el caso en el espacio proyectivo)... espero que esto ayude, y buena suerte!

Answer 2

La pregunta ha sido respondida en MathOverflow. La forma correcta de parametrizar los máximos ideales de la era sólo considerar aquellas que contengan $(ax+by-1)$ e imponer que la intersección de esta línea con el cúbicos tiene sólo un punto (de modo que un discriminante que involucran parámetros de $(a,b)$ es negativo). A continuación, se encuentra una cúbicos región, mirando como el cilindro que yo estaba buscando en la proyectiva. La falla de mi enfoque era que yo estaba parametrización un proyectando sobre el mal real de avión $(p,q)$ en lugar de $(a,b)$ porque me encontré con las ecuaciones más fácil ser de grado 2. Pero entonces yo no podía captar la imagen de la derecha (porque me aplastó el componente correspondiente a la segunda coordenada $y$ por lo tanto, viendo sólo un disco en el proyectiva) ! Tonto de mí ...