Dado dos idempotents $a,b \in R$ $a+b$ es idempotente entonces $a$ y $b$ viaje.

Question

Que $R$ ser un anillo con identidad. Un elemento $a \in R$ es idempotent si $a^2=a$.

Mostrar que dado dos idempotents $a,b \in R$ $a+b$ es idempotente entonces $a$ y $b$ viaje.

Observación:

Estoy probando el $a+b = (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a+ab+ba+b \Rightarrow ab = - ba$. No puedo concluir de esto, traté de $(ab)^2 = (-ba)^2$ pero no puedo concluir.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Pude hacerlo así que usando el hecho de que $ab = -ba$.

Tenemos

$ab = aabb = -abab = -baba = bbaa = ba $

Creo que es correcto.